Defina seção de choque diferencial d \sigma / d \Omega e explique sua relação com a seção de choque total \sigma.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Definir a seção de choque diferencial \dfrac{d\sigma}{d\Omega}.
  • Explicar a relação entre \dfrac{d\sigma}{d\Omega} e a seção de choque total \sigma.
Não foram fornecidos dados numéricos adicionais. Vou partir do modelo físico-padrão de espalhamento onde um feixe de partículas incide sobre um alvo e medi-se a taxa de partículas espalhadas por direção (ângulo).

Passo 2

Montando o cenário físico e definindo quantidades básicas (você precisa entender isso para usar a definição):
  • Considere um feixe de partículas incidindo sobre um único alvo localizado na origem.
  • Seja j o fluxo incidente de partículas sobre o alvo, isto é, o número de partículas que atravessam por unidade de área por unidade de tempo. A unidade de j é \text{partículas}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{s}^{-1}í. Vou explicar cada símbolo sempre que aparecer.
  • Seja d\dot{N}(\Omega) o número de partículas espalhadas por unidade de tempo para dentro de um pequeno elemento de ângulo sólido d\Omega centrado na direção \Omega (onde \Omega representa os ângulos \theta,\varphi). A unidade de d\dot{N} é \text{partículas}\cdot\text{s}^{-1}í.
Essa descrição operacional (taxas e fluxos) é a que realmente se mede num experimento de espalhamento.

Passo 3

Definição operacional (didática e usada na prova):
  • A seção de choque diferencial \dfrac{d\sigma}{d\Omega}(\Omega) é definida como a razão entre a taxa de partículas espalhadas por unidade de tempo no elemento de ângulo sólido d\Omega e o fluxo incidente j, no limite do elemento de ângulo pequeno. Em fórmula:
\frac{d\sigma}{d\Omega}(\Omega) = \frac{1}{j}\,\frac{d\dot{N}(\Omega)}{d\Omega}.
Expliquei cada termo:
  • \dfrac{d\sigma}{d\Omega}(\Omega) tem unidades de área por steradiano ( \text{m}^2/\text{sr}).
  • j é o fluxo incidente ( \text{partículas}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{s}^{-1}í).
  • \dfrac{d\dot{N}(\Omega)}{d\Omega} é a taxa (por tempo) de partículas espalhadas por unidade de ângulo sólido ( \text{partículas}\cdot\text{s}^{-1}\cdot\text{sr}^{-1}í).
    Logo a fórmula é consistente dimensionalmente e tem sentido físico: \dfrac{d\sigma}{d\Omega}(\Omega) mede a “área efetiva” do alvo vista pelo feixe para espalhar para aquela direção específica por unidade de ângulo.

Passo 4

Conceito de ângulo sólido (importante para integrar depois):
  • O elemento de ângulo sólido em coordenadas esféricas é
d\Omega = \sin\theta\, d\theta\, d\varphi,
onde \theta é o ângulo polar (medido a partir do eixo do feixe) e \varphi é o ângulo azimutal.
  • O ângulo sólido total ao redor de um ponto vale 4\pi sr:
\int_{4\pi} d\Omega = \int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{\pi} \sin\theta\, d\theta\, d\varphi = 4\pi.

Passo 5

Relação entre seção de choque diferencial e seção de choque total:
  • A seção de choque total \sigma é a área efetiva total para espalhamento em todas as direções. Obtemos \sigma integrando a seção de choque diferencial sobre todo o espaço angular:
\sigma = \int_{4\pi} \frac{d\sigma}{d\Omega}(\Omega)\, d\Omega.
  • Se o espalhamento for azimutalmente simétrico (independente de \varphi e só depende de \theta), a integral reduz-se a
\sigma = 2\pi \int_{0}^{\pi} \frac{d\sigma}{d\Omega}(\theta)\, \sin\theta\, d\theta.

Passo 6

Interpretação física / probabilística (como usar isso numa prova):
  • Se tiveres um feixe com fluxo j incidindo sobre um único alvo, a taxa total de partículas espalhadas (todas as direções) por unidade de tempo é
\dot{N}_{\text{tot}} = j\,\sigma.
  • A probabilidade de uma partícula incidente ser espalhada para dentro de um subconjunto de direções \Delta\Omega é, para um único alvo,
P(\Delta\Omega) = \frac{1}{\sigma}\int_{\Delta\Omega} \frac{d\sigma}{d\Omega}(\Omega)\, d\Omega.
  • Um caso simples e muito útil: espalhamento isotrópico dá \dfrac{d\sigma}{d\Omega}= constante. Então
\frac{d\sigma}{d\Omega}=\frac{\sigma}{4\pi},
porque ao integrar uma constante sobre 4\pi sr deve dar \sigma.

Passo 7

Exemplo concreto (para fixar a ideia):
  • Exemplo didático: suponha que \dfrac{d\sigma}{d\Omega}(\theta)=A\sin\theta (apenas exemplo). Então a seção total é
\sigma = \int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{\pi} A\sin\theta\, \sin\theta\, d\theta\, d\varphi =2\pi A \int_{0}^{\pi} \sin^{2}\theta\, d\theta =2\pi A \cdot \pi/2 = \pi^{2} A.
Aqui destaquei passo a passo como montar a integral e interpretar o resultado.

Passo 8

Observações finais práticas (dicas de prova e intuição):
  • Sempre verifique unidades: \dfrac{d\sigma}{d\Omega} em \text{m}^{2}/\text{sr}, \sigma em \text{m}^{2}.
  • Se for dado \dfrac{d\sigma}{d\Omega}, calcule \sigma integrando sobre 4\pi sr; se for pedido \dfrac{d\sigma}{d\Omega} e for um processo isotrópico, use \dfrac{\sigma}{4\pi}.
  • Em muitos problemas de física de partículas ou espalhamento clássico aparecem formas diferentes de seção de choque diferencial (por energia, por momento, etc.); a ideia é sempre a mesma: é uma densidade de probabilidade multiplicada por uma área efetiva.

Resposta

\displaystyle \frac{d\sigma}{d\Omega}(\Omega)=\frac{1}{j}\,\frac{d\dot{N}(\Omega)}{d\Omega}, que mede a área efetiva por unidade de ângulo sólido para espalhar na direção \Omega.
\displaystyle \sigma=\int_{4\pi}\frac{d\sigma}{d\Omega}(\Omega)\,d\Omega, ou, em caso de simetria azimutal, \displaystyle \sigma=2\pi\int_{0}^{\pi}\frac{d\sigma}{d\Omega}(\theta)\sin\theta\,d\theta.

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