Um feixe de nêutrons incide sobre uma folha de ouro de 1,0 \mu m de espessura. A densidade do ouro é 19,3 g / c m^{3} e a seção de choque de absorção para esses nêutrons é \sigma=98 \times 10^{-24} \mathrm{~cm}^{2}. Qual a fração de nêutrons absorvida?

Passo 1

O enunciado pede a fração de nêutrons absorvida por uma lâmina de ouro de espessura 1,0\\ \mu\mathrm{m}. Dados fornecidos:
  • espessura: x = 1,0\\ \mu\mathrm{m} (vou converter para \mathrm{cm} depois);
  • densidade do ouro: \rho = 19,3\\ \mathrm{g/cm^{3}};
  • seção de choque de absorção: \sigma = 98\times10^{-24}\\ \mathrm{cm^{2}}.
A pergunta é: qual a fração dos nêutrons que é absorvida ao atravessar a folha?

Passo 2

Princípio físico e fórmula a usar.
Quando partículas (aqui nêutrons) atravessam um material fino, a intensidade transmitida \,I\, em função da intensidade incidente \,I_0\, obedece à lei exponencial de atenuação (lei de Beer–Lambert no contexto de seções de choque):
\frac{I}{I_0}=e^{-n\sigma x},
onde:
  • n é o número de núcleos alvo por unidade de volume (número de átomos por \mathrm{cm^3});
  • \sigma é a seção de choque por alvo (aqui dada em \mathrm{cm^{2}});
  • x é a espessura do material (em \mathrm{cm}).
A fração absorvida é a parte que deixou de ser transmitida:
\text{fração absorvida} = 1 - \frac{I}{I_0} = 1 - e^{-n\sigma x}.çã
Logo precisamos calcular n, converter x para \mathrm{cm} e avaliar o exponencial.

Passo 3

Cálculo do número de átomos por volume n.
Para um elemento, n obtém-se a partir da densidade química:
n = \frac{\rho N_A}{A},
onde:
  • \rho é a densidade em \mathrm{g/cm^{3}};
  • N_A = 6,022\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}} é o número de Avogadro;
  • A é a massa atômica em \mathrm{g/mol}.
A massa atômica do ouro é aproximadamente A = 197{,}0\\ \mathrm{g/mol}. Substituindo:
n = \frac{19{,}3\;\mathrm{g/cm^{3}}\;\times\;6{,}022\times10^{23}\;\mathrm{mol^{-1}}}{197{,}0\;\mathrm{g/mol}}.
Calcule passo a passo:
\frac{19{,}3}{197{,}0}=0{,}097969\ldots
n \approx 0{,}097969\times6{,}022\times10^{23}=5{,}9016\times10^{22}\\ \mathrm{átomos/cm^{3}}.á

Passo 4

Converter a espessura para \mathrm{cm}.
Como 1\\ \mu\mathrm{m}=10^{-4}\\ \mathrm{cm}, temos
x = 1{,}0\\ \mu\mathrm{m} = 1{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{cm}.

Passo 5

Avaliar o argumento do exponencial \tau = n\sigma x.
Primeiro escrever \sigma em forma conveniente:
\sigma = 98\times10^{-24}\\ \mathrm{cm^{2}} = 9{,}8\times10^{-23}\\ \mathrm{cm^{2}}.
Agora
\tau = n\sigma x = \left(5{,}9016\times10^{22}\right)\left(9{,}8\times10^{-23}\right)\left(1{,}0\times10^{-4}\right).
Multiplicando as potências de dez e os fatores:
5{,}9016\times10^{22}\times9{,}8\times10^{-23} = 5{,}7836\\ (\text{aprox.})
e então
\tau = 5{,}7836\times10^{-4}=5{,}7836\times10^{-4}.

Passo 6

Calcular a fração absorvida.
Usamos
\text{fração absorvida} = 1 - e^{-\tau}.çã
Como \tau é pequeno ( \tau\approx5{,}78\times10^{-4}), podemos usar a expansão e^{-\tau}\approx1-\tau+\tfrac{\tau^{2}}{2}. Mantendo termos até \tau^{2} (que é muito pequeno) obtemos:
e^{-\tau}\approx 1 - 5{,}7836\times10^{-4} + \frac{(5{,}7836\times10^{-4})^{2}}{2}\approx 0{,}9994219\\ (\text{aprox.}).
Portanto a fração absorvida é
1 - e^{-\tau}\approx 5{,}78\times10^{-4}.
Convertendo para porcentagem:
5{,}78\times10^{-4}\times100\%=0{,}0578\%.

Resposta

5{,}78\times10^{-4} (fração)
0{,}0578\%

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