Um planeta orbita uma estrela sob ação da força gravitacional. Como varia sua velocidade areolar (área varrida por unidade de tempo)?
A. A) Aumenta quando se aproxima da estrela
B. B) Diminui quando se aproxima da estrela
C. C) Permanece constante
D. D) É máxima no afélio
E. E) É proporcional à distância
Passo 1
O enunciado pergunta: “Como varia a velocidade areolar (área varrida por unidade de tempo) de um planeta que orbita uma estrela sob a ação da força gravitacional?”
Opções fornecidas: A) Aumenta quando se aproxima da estrela, B) Diminui quando se aproxima da estrela, C) Permanece constante, D) É máxima no afélio, E) É proporcional à distância.
Informações relevantes dadas (e que podemos usar):
Há um planeta em órbita ao redor de uma estrela.
A única força relevante é a força gravitacional entre estrela e planeta.
A força gravitacional é uma força central, isto é, sua direção passa pela estrela e pelo planeta (é radial).
Precisamos decidir como varia a “velocidade areolar”, isto é, a área varrida pelo vetor posição por unidade de tempo.
Passo 2
Vamos entender o que é “velocidade areolar” e transformá-la numa expressão matemática que dá pra manipular na prova.
Considere o vetor posição do planeta em relação à estrela \vec{r}. Em um intervalo de tempo pequeno \,dt, o planeta sofre um deslocamento \,d\vec r = \vec{v}\,dt, onde \vec{v} é a velocidade instantânea.
A área varrida pelo vetor posição nesse intervalo \,dt é aproximadamente a área do triângulo formado por \vec{r} e \vec{r}+d\vec r. A área desse triângulo vale metade do módulo do produto vetorial entre \vec{r} e d\vec r. Ou seja:
dA \approx \frac{1}{2}\,\big|\vec{r}\times d\vec r\big|.
Substituindo d\vec r=\vec v\,dt obtemos a velocidade areolar (área por unidade de tempo):
Aqui: \vec{r} é o vetor posição (módulo r), \vec{v} é a velocidade, e \big|\vec{r}\times\vec{v}\big| é o módulo do produto vetorial, que vale r\,v\,\sin\theta onde \theta é o ângulo entre \vec r e \vec v.
Passo 3
Agora vamos ligar a expressão da velocidade areolar a uma quantidade física conservada: o momento angular. Definimos o momento angular por unidade de massa (vetor) como
\vec{h} = \vec{r}\times\vec{v}.
Note que a expressão da velocidade areolar ficou bem simples em termos de \vec h:
\frac{dA}{dt} = \frac{1}{2}\,|\vec{h}|.
Logo, se \vec{h} for constante (módulo constante), então \frac{dA}{dt} é constante. Vamos mostrar que \vec{h} é, de fato, constante para uma força central como a gravitacional.
Derivando \vec{h} em relação ao tempo:
\frac{d\vec{h}}{dt}=\frac{d}{dt}(\vec r\times\vec v)=\vec v\times\vec v+\vec r\times\vec a.
O primeiro termo \vec v\times\vec v é o zero vetorial (um vetor cruz consigo mesmo é zero), então sobra
\frac{d\vec{h}}{dt}=\vec r\times\vec a.
Mas a aceleração \vec a é dada por \vec a=\dfrac{\vec F}{m}. Para a gravitação (força central), \vec F é paralelo a \vec r (aponta radialmente), logo \vec r\times\vec F=\vec 0. Portanto \vec r\times\vec a=\vec 0 e segue que
\frac{d\vec{h}}{dt}=\vec 0,
ou seja, \vec{h} é constante no tempo (tanto direção quanto módulo).
Passo 4
Como \vec{h}=\vec r\times\vec v é constante, seu módulo |\vec h| é constante. Da relação que obtivemos no Passo 2,
\frac{dA}{dt}=\frac{1}{2}\,|\vec h|,
concluímos que \dfrac{dA}{dt} é constante no tempo. Em palavras: o planeta varre áreas iguais em intervalos de tempos iguais.
Passo 5
Um comentário intuitivo para tirar a confusão comum: a velocidade linear do planeta (o módulo de \vec v) não é constante — ela aumenta quando o planeta se aproxima da estrela (periélio) e diminui quando se afasta (afélio). Porém a combinação que aparece na área, |\vec r\times\vec v|, fica constante porque, grosso modo, quando r diminui a componente tangencial de v aumenta de modo que o produto r\cdot v_{\text{tangencial}} permaneça o mesmo (consequência da conservação do momento angular). Portanto velocidade areolar permanece constante mesmo que a velocidade escalar varie.
Passo 6
Conclusão prática para a prova: a velocidade areolar de um planeta em órbita sob força gravitacional central é constante. Isso é exatamente a formulação do que chamamos de Segunda Lei de Kepler (áreas iguais em tempos iguais) e decorre da conservação do momento angular em forças centrais.