Utilizando coordenadas esféricas, calcule:
\iiint_{W}\left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y d z, onde W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} / x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq a^{2}, z \geq 0\right\}.

Passo 1

O que o problema pede: calcular o integral triplo
\iiint_{W}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dx\,dy\,dz
no domínio W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\le a^{2},\; z\ge 0\}.
Informações dadas e o que vamos usar: W é a meia-esfera (semicírculo sólido) de raio a, isto é, a bola de raio a cortada pelo plano z=0 ficando com a metade superior. O integrando é x^{2}+y^{2}. Vamos mudar para coordenadas esféricas porque a região é radial (esfera) — isso simplifica muito a integral.

Passo 2

Definição e interpretação das coordenadas esféricas: em coordenadas esféricas usamos três variáveis \rho,\varphi,\theta definidas por
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi,
onde \rho\ge 0 é a distância do ponto à origem, \varphi é o ângulo polar (ângulo entre o raio-vetor e o eixo z) e \theta é o ângulo azimutal no plano xy. Para a meia-esfera superior temos os seguintes limites:
0\le \rho\le a,\qquad 0\le \varphi\le \frac{\pi}{2},\qquad 0\le \theta\le 2\pi,
porque z\ge0 corresponde a \varphi\in[0,\pi/2]. (Estou te lembrando disso passo a passo — respira, vamos em frente.)

Passo 3

Expressar o integrando em esféricas: calcule x^{2}+y^{2} substituindo as fórmulas acima.
x^{2}+y^{2}=(\rho\sin\varphi\cos\theta)^{2}+(\rho\sin\varphi\sin\theta)^{2} =\rho^{2}\sin^{2}\varphi\big(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta\big)=\rho^{2}\sin^{2}\varphi.
Ou seja, o integrando fica \rho^{2}\sin^{2}\varphi.

Passo 4

Elemento de volume (Jacobian) em coordenadas esféricas: o elemento de volume é
dV = \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Intuitivamente, \rho^{2}\sin\varphi vem da transformação do volume cartesiano para esférico (produto do comprimento radial \,d\rho, do arco \rho\,d\varphi e do arco \rho\sin\varphi\,d\theta). Então o integrando total (função multiplicada pelo elemento de volume) será \rho^{2}\sin^{2}\varphi\cdot\rho^{2}\sin\varphi=\rho^{4}\sin^{3}\varphi.

Passo 5

Montar a integral em esféricas com os limites:
\iiint_{W}(x^{2}+y^{2})\,dV =\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{\varphi=0}^{\pi/2}\int_{\rho=0}^{a}\rho^{4}\sin^{3}\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Note que a função se separa como produto de uma parte que depende só de \rho, outra só de \varphi, e outra só de \theta, então podemos separar as integrais.

Passo 6

Separar e calcular a integral em \rho:
\int_{0}^{a}\rho^{4}\,d\rho=\left[\frac{\rho^{5}}{5}\right]_{0}^{a}=\frac{a^{5}}{5}.
Expliquei a primitiva: a antiderivada de \rho^{4} é \rho^{5}/5.

Passo 7

Calcular a integral em \theta:
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.

Passo 8

Calcular a integral em \varphi:
\int_{0}^{\pi/2}\sin^{3}\varphi\,d\varphi.
Para resolver, escrevemos \sin^{3}\varphi=\sin\varphi(1-\cos^{2}\varphi) e fazemos a substituição u=\cos\varphi, logo du=-\sin\varphi\,d\varphi. Os limites: quando \varphi=0 temos u=1; quando \varphi=\pi/2 temos u=0. Assim
\int_{0}^{\pi/2}\sin^{3}\varphi\,d\varphi =\int_{0}^{\pi/2}\sin\varphi(1-\cos^{2}\varphi)\,d\varphi =\int_{u=1}^{0}-(1-u^{2})\,du =\int_{0}^{1}(1-u^{2})\,du.
Agora integramos:
\int_{0}^{1}(1-u^{2})\,du=\left[u-\frac{u^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.

Passo 9

Juntar os resultados: produto das três integrais dá
\left(2\pi\right)\left(\frac{a^{5}}{5}\right)\left(\frac{2}{3}\right) =2\pi\cdot\frac{a^{5}}{5}\cdot\frac{2}{3}=\frac{4\pi a^{5}}{15}.
Então o valor final do integral é \frac{4\pi a^{5}}{15}. Mandou bem por encarar! Esse tipo de integral cai muito bem com mudança para coordenadas esféricas porque a região é angularmente simples.

Resposta

\displaystyle \frac{4\pi a^{5}}{15}

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