Utilizando coordenadas esféricas, calcule:
, onde
.
Passo 1
O que o problema pede: calcular o integral triplo
no domínio
.
Informações dadas e o que vamos usar: é a meia-esfera (semicírculo sólido) de raio
, isto é, a bola de raio
cortada pelo plano
ficando com a metade superior. O integrando é
. Vamos mudar para coordenadas esféricas porque a região é radial (esfera) — isso simplifica muito a integral.
Informações dadas e o que vamos usar:
Passo 2
Definição e interpretação das coordenadas esféricas: em coordenadas esféricas usamos três variáveis
definidas por
onde
é a distância do ponto à origem,
é o ângulo polar (ângulo entre o raio-vetor e o eixo
) e
é o ângulo azimutal no plano
. Para a meia-esfera superior temos os seguintes limites:
porque
corresponde a
. (Estou te lembrando disso passo a passo — respira, vamos em frente.)
Passo 3
Expressar o integrando em esféricas: calcule
substituindo as fórmulas acima.
Ou seja, o integrando fica
.
Passo 4
Elemento de volume (Jacobian) em coordenadas esféricas: o elemento de volume é
Intuitivamente,
vem da transformação do volume cartesiano para esférico (produto do comprimento radial
, do arco
e do arco
). Então o integrando total (função multiplicada pelo elemento de volume) será
.
Passo 5
Montar a integral em esféricas com os limites:
Note que a função se separa como produto de uma parte que depende só de
, outra só de
, e outra só de
, então podemos separar as integrais.
Passo 6
Separar e calcular a integral em
:
Expliquei a primitiva: a antiderivada de
é
.
Passo 7
Calcular a integral em
:
Passo 8
Calcular a integral em
:
Para resolver, escrevemos
e fazemos a substituição
, logo
. Os limites: quando
temos
; quando
temos
. Assim
Agora integramos:
Passo 9
Juntar os resultados: produto das três integrais dá
Então o valor final do integral é
. Mandou bem por encarar! Esse tipo de integral cai muito bem com mudança para coordenadas esféricas porque a região é angularmente simples.