Calcule o volume do sólido limitado:
pelo cilindro x^{2}+4 y^{2}=4 e pelos planos z=0 z=x+2

Passo 1

O enunciado pede: calcular o volume do sólido limitado pelo cilindro x^{2}+4y^{2}=4 e pelos planos z=0 e z=x+2.\n
Informações dadas e o que é pedido:
  • A superfície lateral é dada pela equação do cilindro x^{2}+4y^{2}=4.
  • As bases verticalmente são os planos z=0 (plano inferior) e z=x+2 (plano superior).
  • Precisamos encontrar o volume do sólido contido entre essas superfícies.

Passo 2

Método escolhido e por quê: vamos usar integração dupla sobre a projeção do sólido no plano xy. A ideia básica é que, para cada ponto (x,y) na região de projeção D, a altura do sólido é z_{\text{top}}-z_{\text{bottom}}=(x+2)-0=x+2. Portanto o volume é a integral dupla da altura sobre D:
V=\iint_{D} (x+2)\,dA.
Aqui D é a região do plano xy limitada pelo cilindro, isto é a elipse abaixo.

Passo 3

Caracterização da região de projeção D. A equação do cilindro vista no plano xy é
x^{2}+4y^{2}=4,
que podemos reescrever como
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{1}=1.
Isto é uma elipse com semi-eixo em x igual a a=2 e semi-eixo em y igual a b=1. Então D é a elipse \{(x,y)\mid \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{1}\le 1\}.
Observação útil (simetria): a integranda x+2 separa em x e 2. Pela simetria da elipse em relação ao eixo y, temos
\iint_{D} x\,dA = 0,
porque para cada ponto (x,y)\in D existe (-x,y)\in D e seus xs se cancelam na soma. Assim
V=\iint_{D} (x+2)\,dA = \iint_{D} x\,dA + 2\iint_{D} 1\,dA = 0 + 2\cdot \text{area}(D).
Portanto basta calcular a área da elipse D.

Passo 4

Cálculo da área da elipse D. Fórmula conhecida: a área de uma elipse com semi-eixos a e b é \pi a b. Aqui a=2 e b=1, então
\text{area}(D)=\pi\cdot 2\cdot 1 = 2\pi.
Se quiser ver por que essa fórmula funciona: considere a transformação linear que leva o disco unitário \{(u,v)\mid u^{2}+v^{2}\le 1\} para a elipse via x=2u,\;y=1\cdot v. O jacobiano dessa transformação é |J|=2, então \text{area}(D)=2\cdot \text{area do disco unitário}=2\cdot \pi\cdot 1^{2}=2\piá.
Usando o resultado do Passo 3,
V = 2\cdot \text{area}(D) = 2\cdot 2\pi = 4\pi.

Passo 5

(Verificação alternativa por mudança para coordenadas polares “esticadas”, passo a passo didático) Podemos parametrizar a elipse com coordenadas polares esticadas:
x = 2r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
com 0\le r\le 1 e 0\le\theta\le 2\pi. Calculamos o jacobiano dessa transformação. A matriz jacobiana é
\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}= \begin{pmatrix} \partial_r x & \partial_\theta x\\[4pt] \partial_r y & \partial_\theta y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cos\theta & -2r\sin\theta\\[4pt] \sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix}.
O determinante é
\det = (2\cos\theta)(r\cos\theta)-(-2r\sin\theta)(\sin\theta)=2r(\cos^2\theta+\sin^2\theta)=2r.
Então dA=|J|\,dr\,d\theta = 2r\,dr\,d\theta.]

Passo 6

Escrevendo a integral do volume nessas coordenadas e calculando explicitamente:
V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} \bigl(x+2\bigr)\,|J|\,dr\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} \bigl(2r\cos\theta+2\bigr)\cdot 2r\,dr\,d\theta.
Simplificando o integrando:
(2r\cos\theta+2)\cdot 2r = 4r^{2}\cos\theta + 4r.
Integramos em r de 0 a 1:
\int_{0}^{1} 4r^{2}\cos\theta\,dr = 4\cos\theta\cdot\frac{1^{3}}{3} = \frac{4}{3}\cos\theta,
\int_{0}^{1} 4r\,dr = 4\cdot\frac{1}{2}=2.
Somando,
\int_{0}^{1} \bigl(4r^{2}\cos\theta + 4r\bigr)\,dr = \frac{4}{3}\cos\theta + 2.

Passo 7

Agora integramos em \theta de 0 a 2\pi:
V=\int_{0}^{2\pi}\left(\frac{4}{3}\cos\theta + 2\right)\,d\theta =\frac{4}{3}\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta + 2\int_{0}^{2\pi}1\,d\theta.
A integral do cosseno sobre um período completo é zero, logo a primeira parcela some. A segunda parcela é 2\cdot 2\pi=4\pi. Assim obtemos novamente
V=4\pi.

Resposta

4\pi

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