Calcule o volume do sólido limitado:
pelo cilindro
e pelos planos
pelo cilindro
Passo 1
O enunciado pede: calcular o volume do sólido limitado pelo cilindro
e pelos planos
e
.\n
Informações dadas e o que é pedido:
Informações dadas e o que é pedido:
- A superfície lateral é dada pela equação do cilindro
. - As bases verticalmente são os planos
(plano inferior) e (plano superior). - Precisamos encontrar o volume do sólido contido entre essas superfícies.
Passo 2
Método escolhido e por quê: vamos usar integração dupla sobre a projeção do sólido no plano
. A ideia básica é que, para cada ponto
na região de projeção
, a altura do sólido é
. Portanto o volume é a integral dupla da altura sobre
:
Aqui
é a região do plano
limitada pelo cilindro, isto é a elipse abaixo.
Passo 3
Caracterização da região de projeção
. A equação do cilindro vista no plano
é
que podemos reescrever como
Isto é uma elipse com semi-eixo em
igual a
e semi-eixo em
igual a
. Então
é a elipse
.
Observação útil (simetria): a integranda
separa em
e
. Pela simetria da elipse em relação ao eixo
, temos
porque para cada ponto
existe
e seus
s se cancelam na soma. Assim
Portanto basta calcular a área da elipse
.
Passo 4
Cálculo da área da elipse
. Fórmula conhecida: a área de uma elipse com semi-eixos
e
é
. Aqui
e
, então
Se quiser ver por que essa fórmula funciona: considere a transformação linear que leva o disco unitário
para a elipse via
. O jacobiano dessa transformação é
, então
.
Usando o resultado do Passo 3,
Passo 5
(Verificação alternativa por mudança para coordenadas polares “esticadas”, passo a passo didático) Podemos parametrizar a elipse com coordenadas polares esticadas:
com
e
. Calculamos o jacobiano dessa transformação. A matriz jacobiana é
O determinante é
Então
.]
Passo 6
Escrevendo a integral do volume nessas coordenadas e calculando explicitamente:
Simplificando o integrando:
Integramos em
de
a
:
Somando,
Passo 7
Agora integramos em
de
a
:
A integral do cosseno sobre um período completo é zero, logo a primeira parcela some. A segunda parcela é
. Assim obtemos novamente