Num plano \alpha há dois segmentos de reta \overline{A B} e \overline{C D}, contidos em retas não paralelas e, fora de \alpha, há um ponto P. Qual é a interseção dos planos \beta=(P, A, B) e \gamma=(P, C, D) ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
  • Temos um plano \alpha.
  • No plano \alpha estão os dois segmentos \overline{A B} e \overline{C D}. Isso significa que os pontos A,B,C,D pertencem a \alpha.
  • As retas que contêm \overline{A B} e \overline{C D} não são paralelas (essa é uma informação dada).
  • Há um ponto P que está fora do plano \alpha (ou seja, P\notin\alpha).
  • Definimos os planos \beta=(P,A,B) e \gamma=(P,C,D). Cada um desses planos é o plano determinado por três pontos (por exemplo, \beta é o plano que passa por P,A,B).
  • A pergunta é: qual é a interseção \beta\cap\gamma?

Passo 2

Existência do ponto de interseção das retas que contêm \overline{A B} e \overline{C D}.
  • Como as duas retas que contêm \overline{A B} e \overline{C D} estão no mesmo plano \alpha e não são paralelas, elas se interceptam em um único ponto. Denoto esse ponto por X.
  • Assim, X é o ponto comum às retas AB e CD e X\in\alpha. Em símbolos: X= \text{reta}(AB)\cap\text{reta}(CD) e X\in\alpha.
(Comentário didático rápido: em um plano, duas retas distintas ou são paralelas ou se encontram num único ponto. Aqui disseram que não são paralelas, logo se encontram.)

Passo 3

Mostrar que P e X são pontos distintos e que ambos pertencem a \beta e a \gamma.
  • X\in\alpha e P\notin\alpha, portanto P\neq X.
  • O plano \beta=(P,A,B) contém a reta AB (pois A,B\in\beta) e contém P. Como X está sobre a reta AB, segue que X\in\beta.
  • Analogamente, o plano \gamma=(P,C,D) contém a reta CD e X está sobre CD, então X\in\gamma.
  • Portanto ambos os planos \beta e \gamma contêm os dois pontos P e X.
(Explicação: um plano que contém dois pontos também contém a reta que passa por esses dois pontos. Logo cada um dos planos contém a reta determinada por P e X.)

Passo 4

Conclusão parcial: a reta PX está contida em \beta\cap\gamma.
  • Como \beta contém P e X, ela contém a reta \overline{P X}.
  • Como \gamma também contém P e X, ela contém a mesma reta \overline{P X}.
  • Logo \overline{P X}\subseteq \beta\cap\gamma.

Passo 5

Mostrar que a interseção não pode ser maior do que a reta PX, e que \beta e \gamma são planos distintos.
  • Se \beta=\gamma então esse único plano conteria as retas AB e CD; como essas retas se interceptam em X, elas determinariam todo o plano \alpha. Assim esse plano conteria \alpha e, em particular, conteria P, o que contradiz P\notin\alpha. Portanto \beta\neq\gamma.
  • A interseção de dois planos distintos no espaço é sempre uma reta (caso não sejam paralelos — aqui ambos passam por P, logo não são paralelos). Temos já duas pontos comuns P e X, logo a interseção contém pelo menos a reta \overline{P X}. Como a interseção de dois planos é uma reta, ela não pode ser maior do que uma reta.
  • Combinando: \beta\cap\gamma é uma reta que contém P e X; a única reta que contém esses dois pontos é \overline{P X}. Portanto \beta\cap\gamma=\overline{P X}.

Resposta

A interseção é a reta \overline{P X}, onde X é o ponto de interseção das retas que contêm \overline{A B} e \overline{C D} (ou seja, X=\text{reta}(AB)\cap\text{reta}(CD)).

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