Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F) e justifique suas respostas:
(a) Se dois planos são secantes, então eles são perpendiculares.
(b) Se dois planos são perpendiculares, então eles são secantes.
(c) Se dois planos são perpendiculares, então toda reta de um deles é perpendicular ao outro.
(d) Se uma reta é perpendicular a um plano, por ela passa um único plano, perpendicular ao plano dado.
(a) Se dois planos são secantes, então eles são perpendiculares.
(b) Se dois planos são perpendiculares, então eles são secantes.
(c) Se dois planos são perpendiculares, então toda reta de um deles é perpendicular ao outro.
(d) Se uma reta é perpendicular a um plano, por ela passa um único plano, perpendicular ao plano dado.
Passo 1
O enunciado pede para classificar cada uma das quatro afirmações como verdadeiro (V) ou falso (F) e justificar cada resposta. As quatro afirmações são:
(a) Se dois planos são secantes, então eles são perpendiculares.
(b) Se dois planos são perpendiculares, então eles são secantes.
(c) Se dois planos são perpendiculares, então toda reta de um deles é perpendicular ao outro.
(d) Se uma reta é perpendicular a um plano, por ela passa um único plano, perpendicular ao plano dado.
(b) Se dois planos são perpendiculares, então eles são secantes.
(c) Se dois planos são perpendiculares, então toda reta de um deles é perpendicular ao outro.
(d) Se uma reta é perpendicular a um plano, por ela passa um único plano, perpendicular ao plano dado.
Informações relevantes que vamos usar (definições e propriedades que o enunciado chama a atenção a utilizar):
- Dois planos são secantes quando se intersectam ao longo de uma reta (ou seja, não são paralelos).
- Um plano pode ser dado por uma equação do tipo
; seu vetor normal é . - O ângulo entre dois planos é o ângulo entre seus vetores normais; portanto, dois planos são perpendiculares quando seus vetores normais são perpendiculares, isto é, quando
. - Uma reta com vetor diretor
é perpendicular a um plano cuja normal é se, e somente se, for paralelo a (equivalently é múltiplo de ).
A resolução começará a partir dessas ideias.
Passo 2
Entendendo a lógica por trás das afirmações (a usar durante as justificativas):
-
Para (a): o fato de dois planos serem secantes significa apenas que eles se cruzam numa reta. O ângulo entre eles pode ser qualquer valor entre
e . Logo, para mostrar que (a) é falsa basta dar um contraexemplo de dois planos que se intersectam mas não são perpendiculares. -
Para (b): se dois planos são perpendiculares isso significa
. Se os vetores normais são perpendiculares, eles não são múltiplos um do outro, logo os planos não são paralelos; em , dois planos não paralelos intersectam em uma reta. Assim a ideia é argumentar que perpendicularidade implica não-paralelismo, e não-paralelismo implica interseção — daí a verdade de (b). -
Para (c): precisamos decidir se a perpendicularidade entre planos força que “toda” reta de um seja perpendicular ao outro. Intuição: não — só algumas retas especiais (por exemplo as paralelas ao vetor normal do outro plano) serão perpendiculares. Mostraremos um contraexemplo concreto.
-
Para (d): aqui a afirmação fala em unicidade de um plano que passe por uma reta perpendicular a um plano dado. A construção geométrica mostra que, no caso de uma reta perpendicular a um plano, é possível girar um plano ao redor dessa reta mantendo a perpendicularidade, produzindo muitos planos; portanto a afirmação será falsa. Vamos demonstrar tudo com exemplos claros e cálculos simples de vetores normais/diretores.
Passo 3
Resposta e justificativa para (a). Afirmação: “Se dois planos são secantes, então eles são perpendiculares.”
Contraexemplo concreto: considere o plano
(plano
) e o plano
.
- O vetor normal de
é . - O vetor normal de
é (uma normal alternativa proporcional é essa).
Calcule o produto escalar:
Como o produto escalar não é zero, os normais não são perpendiculares, portanto os planos não são perpendiculares. Porém
e
são secantes (resolvem simultaneamente
e
e obtém-se a reta
, a reta
-axis). Assim existem planos secantes que não são perpendiculares. Conclusão: a afirmação (a) é falsa.
Passo 4
Resposta e justificativa para (b). Afirmação: “Se dois planos são perpendiculares, então eles são secantes.”
Razão clara e geral: em
dois planos são paralelos exatamente quando seus normais são colineares (um normal é múltiplo escalar do outro). Se dois planos são perpendiculares então, por definição, os vetores normais
e
são perpendiculares, isto é,
Vetores perpendiculares não são colineares, logo os normais não são múltiplos um do outro. Assim os planos não são paralelos. Em
, dois planos não paralelos sempre se intersectam numa reta (são secantes). Portanto toda vez que dois planos forem perpendiculares, eles necessariamente se intersectam — isto é, são secantes. Conclusão: a afirmação (b) é verdadeira.
Passo 5
Resposta e justificativa para (c). Afirmação: “Se dois planos são perpendiculares, então toda reta de um deles é perpendicular ao outro.”
Isto é falso. Explicação com exemplo direto (muito intuitivo): tome
-
e ; , então . - Considere uma reta
contida em com direção (por exemplo, a reta ). Para que seja perpendicular a , seu vetor diretor teria de ser paralelo ao normal de , isto é, paralelo a . Mas não é múltiplo de , logo não é perpendicular a .
Portanto existem retas dentro deque não são perpendiculares a . A conclusão geral: a perpendicularidade entre planos não obriga que “toda” reta de um deles seja perpendicular ao outro — apenas certas retas especiais (por exemplo aquelas paralelas ao vetor normal do outro plano) o são. Conclusão: (c) é falsa.
Passo 6
Resposta e justificativa para (d). Afirmação: “Se uma reta é perpendicular a um plano, por ela passa um único plano, perpendicular ao plano dado.”
Isto também é falso. Vamos entender por quê com uma explicação geométrica e um exemplo simples:
Seja
o plano
e seja
a reta vertical que passa por um ponto
no plano, por exemplo a reta com direção
que corta
em
. A reta
é perpendicular a
. Agora, escolha qualquer reta
contida em
que passe por
(existem infinitas direções no plano
através de
). Para cada escolha de
, o plano gerado por
e
é um plano distinto que contém
e é perpendicular a
(intuitivamente, são todos os planos “verticais” que contêm a reta vertical
). Assim existem infinitos planos contendo
e sendo perpendiculares a
— não é único. Portanto a afirmação que existe um único plano com essa propriedade é falsa. Conclusão: (d) é falsa.
Resposta
(a) F\n
(b) V\n
(c) F\n
(d) F
(b) V\n
(c) F\n
(d) F