Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F) e justifique suas respostas:
(a) Se dois planos são secantes, então eles são perpendiculares.
(b) Se dois planos são perpendiculares, então eles são secantes.
(c) Se dois planos são perpendiculares, então toda reta de um deles é perpendicular ao outro.
(d) Se uma reta é perpendicular a um plano, por ela passa um único plano, perpendicular ao plano dado.

Passo 1

O enunciado pede para classificar cada uma das quatro afirmações como verdadeiro (V) ou falso (F) e justificar cada resposta. As quatro afirmações são:
(a) Se dois planos são secantes, então eles são perpendiculares.
(b) Se dois planos são perpendiculares, então eles são secantes.
(c) Se dois planos são perpendiculares, então toda reta de um deles é perpendicular ao outro.
(d) Se uma reta é perpendicular a um plano, por ela passa um único plano, perpendicular ao plano dado.
Informações relevantes que vamos usar (definições e propriedades que o enunciado chama a atenção a utilizar):
  • Dois planos são secantes quando se intersectam ao longo de uma reta (ou seja, não são paralelos).
  • Um plano pode ser dado por uma equação do tipo \alpha: a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0; seu vetor normal é \mathbf{n}_\alpha=(a_1,b_1,c_1).
  • O ângulo entre dois planos é o ângulo entre seus vetores normais; portanto, dois planos são perpendiculares quando seus vetores normais são perpendiculares, isto é, quando \mathbf{n}_\alpha\cdot\mathbf{n}_\beta=0.
  • Uma reta com vetor diretor \mathbf{v} é perpendicular a um plano cuja normal é \mathbf{n} se, e somente se, \mathbf{v} for paralelo a \mathbf{n} (equivalently \mathbf{v} é múltiplo de \mathbf{n}).
    A resolução começará a partir dessas ideias.

Passo 2

Entendendo a lógica por trás das afirmações (a usar durante as justificativas):
  • Para (a): o fato de dois planos serem secantes significa apenas que eles se cruzam numa reta. O ângulo entre eles pode ser qualquer valor entre 0^\circ e 90^\circ. Logo, para mostrar que (a) é falsa basta dar um contraexemplo de dois planos que se intersectam mas não são perpendiculares.
  • Para (b): se dois planos são perpendiculares isso significa \mathbf{n}_\alpha\cdot\mathbf{n}_\beta=0. Se os vetores normais são perpendiculares, eles não são múltiplos um do outro, logo os planos não são paralelos; em \mathbb{R}^3, dois planos não paralelos intersectam em uma reta. Assim a ideia é argumentar que perpendicularidade implica não-paralelismo, e não-paralelismo implica interseção — daí a verdade de (b).
  • Para (c): precisamos decidir se a perpendicularidade entre planos força que “toda” reta de um seja perpendicular ao outro. Intuição: não — só algumas retas especiais (por exemplo as paralelas ao vetor normal do outro plano) serão perpendiculares. Mostraremos um contraexemplo concreto.
  • Para (d): aqui a afirmação fala em unicidade de um plano que passe por uma reta perpendicular a um plano dado. A construção geométrica mostra que, no caso de uma reta perpendicular a um plano, é possível girar um plano ao redor dessa reta mantendo a perpendicularidade, produzindo muitos planos; portanto a afirmação será falsa. Vamos demonstrar tudo com exemplos claros e cálculos simples de vetores normais/diretores.

Passo 3

Resposta e justificativa para (a). Afirmação: “Se dois planos são secantes, então eles são perpendiculares.”
Contraexemplo concreto: considere o plano \alpha: z=0 (plano xy) e o plano \beta: z=x.
  • O vetor normal de \alpha é \mathbf{n}_\alpha=(0,0,1).
  • O vetor normal de \beta é \mathbf{n}_\beta=(-1,0,1) (uma normal alternativa proporcional é essa).
    Calcule o produto escalar:
\mathbf{n}_\alpha\cdot\mathbf{n}_\beta=(0,0,1)\cdot(-1,0,1)=0\cdot(-1)+0\cdot0+1\cdot1=1\neq0.
Como o produto escalar não é zero, os normais não são perpendiculares, portanto os planos não são perpendiculares. Porém \alpha e \beta são secantes (resolvem simultaneamente z=0 e z=x e obtém-se a reta x=0, z=0, a reta y-axis). Assim existem planos secantes que não são perpendiculares. Conclusão: a afirmação (a) é falsa.

Passo 4

Resposta e justificativa para (b). Afirmação: “Se dois planos são perpendiculares, então eles são secantes.”
Razão clara e geral: em \mathbb{R}^3 dois planos são paralelos exatamente quando seus normais são colineares (um normal é múltiplo escalar do outro). Se dois planos são perpendiculares então, por definição, os vetores normais \mathbf{n}_\alpha e \mathbf{n}_\beta são perpendiculares, isto é,
\mathbf{n}_\alpha\cdot\mathbf{n}_\beta=0.
Vetores perpendiculares não são colineares, logo os normais não são múltiplos um do outro. Assim os planos não são paralelos. Em \mathbb{R}^3, dois planos não paralelos sempre se intersectam numa reta (são secantes). Portanto toda vez que dois planos forem perpendiculares, eles necessariamente se intersectam — isto é, são secantes. Conclusão: a afirmação (b) é verdadeira.

Passo 5

Resposta e justificativa para (c). Afirmação: “Se dois planos são perpendiculares, então toda reta de um deles é perpendicular ao outro.”
Isto é falso. Explicação com exemplo direto (muito intuitivo): tome
\alpha: z=0 \quad\text{(plano \(xy\))},\qquad \beta: x=0 \quad\text{(plano \(yz\))}.
  • \mathbf{n}_\alpha=(0,0,1) e \mathbf{n}_\beta=(1,0,0); \mathbf{n}_\alpha\cdot\mathbf{n}_\beta=0, então \alpha\perp\beta.
  • Considere uma reta r contida em \alpha com direção \mathbf{v}=(1,1,0) (por exemplo, a reta y=x,\;z=0). Para que r seja perpendicular a \beta, seu vetor diretor teria de ser paralelo ao normal de \beta, isto é, paralelo a (1,0,0). Mas \mathbf{v}=(1,1,0) não é múltiplo de (1,0,0), logo r não é perpendicular a \beta.
    Portanto existem retas dentro de \alpha que não são perpendiculares a \beta. A conclusão geral: a perpendicularidade entre planos não obriga que “toda” reta de um deles seja perpendicular ao outro — apenas certas retas especiais (por exemplo aquelas paralelas ao vetor normal do outro plano) o são. Conclusão: (c) é falsa.

Passo 6

Resposta e justificativa para (d). Afirmação: “Se uma reta é perpendicular a um plano, por ela passa um único plano, perpendicular ao plano dado.”
Isto também é falso. Vamos entender por quê com uma explicação geométrica e um exemplo simples:
Seja \pi o plano z=0 e seja l a reta vertical que passa por um ponto P no plano, por exemplo a reta com direção \mathbf{u}=(0,0,1) que corta \pi em P. A reta l é perpendicular a \pi. Agora, escolha qualquer reta m contida em \pi que passe por P (existem infinitas direções no plano \pi através de P). Para cada escolha de m, o plano gerado por l e m é um plano distinto que contém l e é perpendicular a \pi (intuitivamente, são todos os planos “verticais” que contêm a reta vertical l). Assim existem infinitos planos contendo l e sendo perpendiculares a \pi — não é único. Portanto a afirmação que existe um único plano com essa propriedade é falsa. Conclusão: (d) é falsa.

Resposta

(a) F\n
(b) V\n
(c) F\n
(d) F

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