No plano 
 , a área da região compreendida entre o eixo 
 , a curva 
 , e as retas 
  e 
  é igual a 
  para qualquer 
 . Determine 
 .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. No plano 
 , temos uma região que está entre o eixo 
 , a curva 
  (que está sempre acima ou no eixo 
 ), e as retas verticais 
  e 
 , onde 
  é maior que 1. A área dessa região é dada por 
 . Nosso objetivo é descobrir qual é a função 
  que gera essa área.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a área sob uma curva 
  entre dois pontos 
  e 
  é calculada pela integral definida:
No nosso caso, a área é dada por $ \sqrt{b^{2}+1} - \sqrt{2}$, e os limites de integração são 
  e 
 .
Passo 3
Então, podemos escrever a equação da área assim:
Nosso próximo passo é encontrar 
  que satisfaz essa equação para todo 
 .
Passo 4
Para encontrar 
 , vamos derivar ambos os lados da equação em relação a 
 . Isso porque a derivada da integral com limite variável nos dá a função 
 , segundo o Teorema Fundamental do Cálculo:
Vamos fazer isso no lado direito da nossa equação.
Passo 5
Derivando o lado direito:
Então, temos:
Passo 6
Como 
  é uma variável qualquer, podemos substituir 
  por 
  para expressar a função de forma geral:
Resposta
A função 
  é: