No plano cartesiano, considere a reta de equação 
  e a circunferência de equação 
 . Podemos afirmar que
a) a reta passa pelo centro da circunferência.
b) a reta é tangente à circunferência.
c) a circunferência intercepta o eixo y em dois pontos cuja distância é 2 .
d) a circunferência intercepta o eixo 
  em dois pontos cuja distância é 1.
e) a área do círculo determinado pela circunferência é 4 u.a…
a) a reta passa pelo centro da circunferência.
b) a reta é tangente à circunferência.
c) a circunferência intercepta o eixo y em dois pontos cuja distância é 2 .
d) a circunferência intercepta o eixo
e) a área do círculo determinado pela circunferência é 4 u.a…
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma reta com a equação 
  e uma circunferência com a equação 
 . Nosso objetivo é descobrir qual das alternativas (a, b, c, d ou e) está correta. Para isso, vamos precisar entender como encontrar o centro e o raio da circunferência, determinar se a reta passa pelo centro ou é tangente à circunferência, calcular pontos de interseção com os eixos e, finalmente, calcular a área do círculo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o centro e o raio da circunferência. Para isso, vamos completar o quadrado nas variáveis 
  e 
 .
A equação da circunferência é:
Reorganizando os termos:
Agora, completamos o quadrado para 
  e para 
 :
Para 
 :
Para 
 :
Substituindo de volta na equação:
Simplificando:
Então, o centro da circunferência é 
  e o raio 
 .
Passo 3
Agora, vamos verificar se a reta 
  passa pelo centro da circunferência 
 .
Substituímos 
  e 
  na equação da reta:
Como 
 , a reta não passa pelo centro da circunferência. Portanto, a alternativa a) está errada.
Passo 4
Vamos verificar se a reta é tangente à circunferência. Para isso, calculamos a distância entre o centro da circunferência 
  e a reta 
 .
A fórmula da distância de um ponto 
  a uma reta 
  é:
Reescrevendo a equação da reta:
Aqui, 
 , 
 , e 
 . Substituindo:
Como o raio da circunferência é 
  e 
 , a reta não é tangente à circunferência. Portanto, a alternativa b) está errada.
Passo 5
Vamos agora verificar a alternativa c): “a circunferência intercepta o eixo y em dois pontos cuja distância é 2”.
Para encontrar os pontos de interseção com o eixo y, colocamos 
  na equação da circunferência:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, 
  e 
 .
Os pontos de interseção são 
  e 
 . A distância entre eles é:
Portanto, a alternativa c) está correta.
Passo 6
Para completar, vamos verificar se há mais alguma alternativa correta.
d) “a circunferência intercepta o eixo 
  em dois pontos cuja distância é 1”.
Vamos encontrar os pontos de interseção com o eixo 
 , onde 
 :
Calculando o discriminante:
Como 
 , não há interseção com o eixo 
 . Então, a alternativa d) está errada.
e) “a área do círculo determinado pela circunferência é 4 u.a.”.
Sabemos que o raio 
 . A área é:
Como 4 não é igual a 
 , a alternativa e) está errada.
Resposta
A alternativa c) está correta.