No plano cartesiano, ligue o ponto (0,0) ao ponto (1,1) por uma reta, e o mesmo com o ponto (1,1) e (2,0). Depois considere a reta y=0 para todo x>2. Escreva a função cujo gráfico foi descrito acima em termos das funções degraus. Calcule sua transformada.

Passo 1

O enunciado descreve uma função f(x) que vale zero até x=0, sobe linearmente de (0,0) a (1,1), depois desce linearmente de (1,1) a (2,0) e permanece zero para x>2.
Conteúdo: representação de funções por meio da função degrau unitária u(x) e cálculo da transformada de Laplace usando a propriedade de deslocamento no tempo.

Passo 2

Definimos a representação em termos de degraus. Seja u(x) a função degrau unitária. Então
f(x)= \begin{cases} 0,&x<0,\\\ x,&0\le x<1,\\\\ 2-x,&1\le x<2,\\\\ 0,&x\ge2 \end{cases}
pode ser escrita como
f(x)=x\bigl[u(x)-u(x-1)\bigr]\;+\;(2-x)\bigl[u(x-1)-u(x-2)\bigr].

Passo 3

Expandindo e agrupando termos:
f(x)=x\,u(x)-x\,u(x-1)+(2-x)\,u(x-1)-(2-x)\,u(x-2).
Ao juntar os dois termos com u(x-1):
f(x)=x\,u(x)+(2-2x)\,u(x-1)-(2-x)\,u(x-2).

Passo 4

Agora aplicamos a transformada de Laplace \mathcal{L}\{\cdot\}(s) termo a termo, usando
\mathcal{L}\{x\,u(x)\}=\frac{1}{s^2}, \qquad \mathcal{L}\{g(t-a)\,u(t-a)\}=e^{-a s}G(s),
onde G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\}.
  1. \displaystyle \mathcal{L}\{x\,u(x)\}=\frac{1}{s^2}.
  2. Para (2-2x)\,u(x-1) fazemos t=x-1\implies2-2x=-2t, logo
\mathcal{L}\{(2-2x)\,u(x-1)\}=-2\,e^{-s}\,\frac{1}{s^2}.
  1. Para -(2-x)\,u(x-2) fazemos t=x-2\implies-(2-x)=t, logo
\mathcal{L}\{-(2-x)\,u(x-2)\}=e^{-2s}\,\frac{1}{s^2}.

Passo 5

Somando os três resultados:
F(s)=\frac{1}{s^2}-\frac{2e^{-s}}{s^2}+\frac{e^{-2s}}{s^2} =\frac{1-2e^{-s}+e^{-2s}}{s^2} =\frac{\bigl(1-e^{-s}\bigr)^2}{s^2}.

Resposta

f(x)=x\bigl[u(x)-u(x-1)\bigr]+(2-x)\bigl[u(x-1)-u(x-2)\bigr]
\mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{\bigl(1-e^{-s}\bigr)^2}{s^2}.

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