Resolva os PVI’s
y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+13 y=e^{-2 t} \sin 3 t, \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=2.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' + 4y' + 13y = e^{-2t}\sin 3t, \quad y(0)=1,\; y'(0)=2.
O conteúdo usado será o de EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes: a solução geral é a soma da solução complementar (resolvendo a equação homogênea) e de uma solução particular (método dos coeficientes indeterminados).

Passo 2

A parte homogênea é
y'' + 4y' + 13y = 0.
A equação característica é
r^2 + 4r +13 = 0
com raízes
r = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 52}}{2} = -2 \pm 3i.
Logo a solução complementar é
y_h(t) = e^{-2t}\bigl(C_1\cos 3t + C_2\sin 3t\bigr).

Passo 3

Para a solução particular, o termo não-homogêneo é e^{-2t}\sin3t. Como -2\pm3i já são raízes da característica, usamos o palpite
y_p(t) = e^{-2t}\,t\,(A\cos3t + B\sin3t).

Passo 4

Calculando y_p' e y_p'' e substituindo na equação, agrupa-se termos em e^{-2t}\cos3t e e^{-2t}\sin3t. O LHS fica
y_p'' + 4y_p' +13y_p = e^{-2t}\bigl(3B\cos3t -3A\sin3t\bigr),
que deve igualar o RHS e^{-2t}\sin3t. Assim
3B=0,\quad -3A=1 \quad\Longrightarrow\quad B=0,\;A=-\tfrac13.
Portanto
y_p(t) = -\tfrac13\,t\,e^{-2t}\cos3t.

Passo 5

A solução geral é
y(t) = y_h(t)+y_p(t) = e^{-2t}\bigl(C_1\cos3t + C_2\sin3t\bigr) -\tfrac13\,t\,e^{-2t}\cos3t.

Passo 6

Usamos as condições iniciais. Primeiro y(0)=1
y(0) = C_1 = 1.
Em seguida define-se
g(t)=C_1\cos3t + C_2\sin3t - \tfrac13\,t\cos3t, \quad y=e^{-2t}g.
Então
y'(0) = -2g(0) + g'(0) = -2\cdot1 +\bigl(3C_2 -\tfrac13\bigr) =3C_2 -\tfrac73.
Como y'(0)=2, vem
3C_2 -\tfrac73 = 2 \quad\Longrightarrow\quad 3C_2 = \tfrac{13}3 \quad\Longrightarrow\quad C_2 = \tfrac{13}{9}.

Resposta

\boxed{ y(t) = e^{-2t}\Bigl(\cos3t + \tfrac{13}{9}\sin3t\Bigr) \;-\;\tfrac{1}{3}\,t\,e^{-2t}\cos3t. }

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