No plano cartesiano Ox y, a circunferência C é tangente ao eixo O x no ponto de abscissa 5 e contém o ponto (1,2). Nessas condições, o raio de C vale:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de geometria no plano cartesiano. A questão fala sobre uma circunferência $ C $ que é tangente ao eixo $ Ox $ no ponto com abscissa 5 e que passa pelo ponto (1,2). Nosso objetivo é descobrir qual é o raio dessa circunferência. Para resolver isso, a gente vai precisar saber como encontrar o centro de uma circunferência que é tangente a um eixo e também usar a fórmula da distância entre dois pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ser tangente ao eixo $ Ox $ no ponto com abscissa 5. Isso quer dizer que a circunferência toca o eixo $ Ox $ exatamente no ponto (5,0). O centro da circunferência, então, está exatamente acima ou abaixo desse ponto, formando uma linha vertical. Vamos chamar o centro de $ (5, k) $, onde $ k $ é a coordenada y que vamos descobrir.

Passo 3

Sabemos que a circunferência é tangente ao eixo $ Ox $, então a distância vertical do centro ao eixo é igual ao raio $ r $. Isso significa que $ k = r $ ou $ k = -r $. Vamos considerar primeiro $ k = r $, ou seja, o centro está acima do eixo $ Ox $.

Passo 4

Agora, sabemos que a circunferência passa pelo ponto (1,2). Vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos para relacionar o centro $ (5, r) $ com o ponto $ (1, 2) $:
(5, r)
Isso simplifica para:
(1, 2)

Passo 5

Vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:
16 + (r - 2)^2 = r^2
Expandindo $ (r - 2)^2 $:
(r - 2)^2

Passo 6

Agora, simplificamos a equação:
20 - 4r = 0
Resolvendo para $ r $:
r

Passo 7

Vamos verificar a outra possibilidade, onde $ k = -r $. Substituindo na fórmula da distância:
k = -r
Isso levaria a uma solução negativa para o raio, o que não faz sentido, já que o raio não pode ser negativo.

Resposta

O raio da circunferência $ C $ é igual a 5 unidades.

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