Plano infinito de cargas. Seja um plano infinito com densidade superficial de carga uniforme
. Encontre o campo
em um ponto que dista
do plano. Resp.
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz: “Temos um plano infinito com densidade de carga superficial uniforme
. Queremos achar o campo elétrico
num ponto que está a uma distância
desse plano.”
Conteúdo da matéria: eletrostática, mais precisamente Lei de Gauss.
O que vamos precisar:
Conteúdo da matéria: eletrostática, mais precisamente Lei de Gauss.
O que vamos precisar:
- Entender simetria de um plano infinito carregado;
- Escolher uma superfície de Gauss (um ‘cilindrinho’, ou “pillbox”);
- Calcular fluxo elétrico e usar a Lei de Gauss;
- Conhecer a constante
.
Passo 2
Antes de tudo, pense na simetria: o plano é infinito e uniformemente carregado, então não importa o ponto que você escolhe a uma mesma distância
; o campo tem sempre a mesma intensidade e fica perpendicular ao plano. Como o plano tem carga positiva, o campo sai dele em direção ao espaço.
Para explorar isso, a gente pega uma superfície de Gauss em forma de “pillbox”: um cilindro com bases paralelas ao plano e paredes laterais perpendiculares. Metade do cilindro fica de um lado do plano e a outra metade do outro.
Para explorar isso, a gente pega uma superfície de Gauss em forma de “pillbox”: um cilindro com bases paralelas ao plano e paredes laterais perpendiculares. Metade do cilindro fica de um lado do plano e a outra metade do outro.
Passo 3
Aplicando a Lei de Gauss:
Aqui,
é o fluxo,
é a carga dentro da superfície de Gauss.
- O campo nas paredes laterais do cilindro é paralelo à superfície lateral, então não contribui para o fluxo.
- O campo nas duas bases é perpendicular, então cada base de área
contribui com .
Então o fluxo total é
A carga interna
é a densidade superficial vezes a área da seção do cilindro que intercepta o plano, ou seja
Passo 4
Substituindo na Lei de Gauss:
Repara que
cancela e não aparece nenhum
: isso mostra que o campo é o mesmo em qualquer distância do plano infinito.