Plano infinito de cargas. Seja um plano infinito com densidade superficial de carga uniforme +sigma. Encontre o campo E em um ponto que dista x do plano. Resp. E=sigma / 2 varepsilon0

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz: “Temos um plano infinito com densidade de carga superficial uniforme . Queremos achar o campo elétrico num ponto que está a uma distância desse plano.”
Conteúdo da matéria: eletrostática, mais precisamente Lei de Gauss.
O que vamos precisar:
  • Entender simetria de um plano infinito carregado;
  • Escolher uma superfície de Gauss (um ‘cilindrinho’, ou “pillbox”);
  • Calcular fluxo elétrico e usar a Lei de Gauss;
  • Conhecer a constante .

Passo 2

Antes de tudo, pense na simetria: o plano é infinito e uniformemente carregado, então não importa o ponto que você escolhe a uma mesma distância ; o campo tem sempre a mesma intensidade e fica perpendicular ao plano. Como o plano tem carga positiva, o campo sai dele em direção ao espaço.
Para explorar isso, a gente pega uma superfície de Gauss em forma de “pillbox”: um cilindro com bases paralelas ao plano e paredes laterais perpendiculares. Metade do cilindro fica de um lado do plano e a outra metade do outro.

Passo 3

Aplicando a Lei de Gauss:
Phi = oint Ecdot dA ;=; Qintvarepsilon0
Aqui, Phi = E,A ;+; E,A = 2,E,A é o fluxo, Qint = sigma,A é a carga dentro da superfície de Gauss.
  1. O campo nas paredes laterais do cilindro é paralelo à superfície lateral, então não contribui para o fluxo.
  2. O campo nas duas bases é perpendicular, então cada base de área contribui com .
    Então o fluxo total é
A carga interna é a densidade superficial vezes a área da seção do cilindro que intercepta o plano, ou seja

Passo 4

Substituindo na Lei de Gauss:
2,E,A = sigma,Avarepsilon0 Longrightarrow E = sigma2,varepsilon0
Repara que cancela e não aparece nenhum : isso mostra que o campo é o mesmo em qualquer distância do plano infinito.

Resposta

E = sigma2,varepsilon0

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