Um plano infinito com densidade superficial de carga sigma coincide com o plano x-y em z=0. Calcule
(iii) O trabalho necessário para mover a carga q de (0, a, 0) até (0,0, a),

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão diz que temos um plano infinito, com densidade de carga superficial sigma, bem em cima do plano x!-!y (ou seja, em z=0). A gente precisa calcular o trabalho necessário para levar uma carga q do ponto (0,a,0) até (0,0,a).
Conteúdo: eletrostática de campo uniforme (plano infinito) e potencial elétrico. Vamos usar
  1. o campo elétrico gerado por um plano infinito carregado,
  2. a definição de diferença de potencial, e
  3. a relação entre diferença de potencial e trabalho.

Passo 2

Primeiro, o campo elétrico de um plano infinito com densidade superficial sigma é uniforme e aponta perpendicular ao plano. Para z>0 ele é
E = sigma2varepsilon0,hat z,
Como o campo só aponta em z, mover a carga em x ou y não dá trabalho nenhum (pois vec Ecdot dvec r=0 nesses trechos). Só o trecho que varia z conta.
A diferença de potencial entre dois pontos A e B é dada por
V(B)-V(A) ;=; -integralA^B vec Ecdot dvec r,
Como vec E é constante e só tem componente em z, podemos escrever para um deslocamento puramente vertical de z=0 até z=a:
$$V(z=a)-V(z=0) ;=; -\int_{0}^{a} \frac{\sigma}{2\varepsilon_0},dz
;=; -\frac{\sigma}{2\varepsilon_0},a,. V(z=a)-V(z=0) ;=; -integral0^a sigma2varepsilon0,dz ;=; -sigma2varepsilon0,a, V_{\rm final}=V(0,0,a)=-\frac{\sigma,a}{2\varepsilon_0}, \quad
V_{\rm inicial}=V(0,a,0)=V(z=0)=0,. $$

Passo 3

O trabalho que o agente externo precisa fornecer para mover carga q de A para B é justamente a variação da energia potencial elétrica, que é
Wrm ext ;=; De
O sinal negativo indica que o campo elétrico empurra a carga no sentido do deslocamento (ou seja, a gente precisaria de “trabalho negativo” se fosse o agente externo fazer isso; em outras palavras, o campo ajuda o movimento).

Resposta

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