No plano \mathbb{R}^{2}, considere as retas F_{1} e F_{2}, definidas respectivamente pelas equações y=a x e y=b x, com a \neq b. Em seguida:
(a) Exprima cada vetor v=(x, y) \in \mathbb{R}^{2} como soma de um vetor em F_{1} e um vetor em F_{2}.
(b) Obtenha a matriz (em relação à base canônica) da projeção (não ortogonal) P: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, que tem F_{1} como núcleo e F_{2} como imagem.
(c) Acha a matriz da reflexão S: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, em torno da reta F_{2} paralelamente a F_{1}
Dica: Faça uma figura!

Passo 1

O enunciado dá duas retas no plano \mathbb{R}^2: F_{1} definida por y = a x e F_{2} definida por y = b x, com a \neq b. Temos um vetor genérico v=(x,y)\in\mathbb{R}^2. As perguntas são:
(a) escrever v como soma de um vetor em F_{1} e um vetor em F_{2};
(b) obter a matriz (na base canônica) da projeção P:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 cujo núcleo é F_{1} e a imagem é F_{2} (projeção ao longo de F_1 sobre F_2);
(c) achar a matriz da reflexão S:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 em torno de F_{2} paralelamente a F_{1}.
Informações relevantes: v=(x,y), F_1=\{t(1,a)\mid t\in\mathbb{R}\}, F_2=\{s(1,b)\mid s\in\mathbb{R}\}, e a\neq b (portanto as direções são independentes).

Passo 2

Modelo a decomposição pedida. Se u\in F_{1}\) e \(w\in F_{2}\), então existem escalares \(c\) e \(d\) tais que \[u = c(1,a) \quad\text{e}\quad w = d(1,b).
Queremos v = u + w. Escrevendo coordenadas:
c(1,a) + d(1,b) = (x,y).
Isto gera o sistema linear em c,d:
\begin{cases} c + d = x,\\[4pt] a c + b d = y. \end{cases}
Expliquei: representar um ponto numa reta por um escalar vezes um vetor diretor é a forma natural; por isso escolhi (1,a)\] e \((1,b) como vetores diretores de F_1 e F_2.]

Passo 3

Resolvo o sistema para c e d. Subtraindo b vezes a primeira equação da segunda ou usando eliminação direta:
a c + b d - b(c + d) = y - b x \quad\Rightarrow\quad (a-b)c = y - b x.
Como a\neq b, o determinante é a-b\neq 0, logo
c = \frac{y - b x}{a - b}.
Agora d = x - c, então
d = x - \frac{y - b x}{a - b} = \frac{a x - y}{a - b}.
(Observação: podemos também escrever c=\dfrac{b x - y}{b-a} e d=\dfrac{y - a x}{b-a}; são equivalentes, apenas mudam o sinal comum no numerador e denominador.)

Passo 4

Concluo a parte (a): a decomposição pedida é
v=(x,y)=u+w
com
u = c(1,a)=\frac{y - b x}{a - b}\,(1,a) \quad\text{e}\quad w = d(1,b)=\frac{a x - y}{a - b}\,(1,b).
Expliquei cada passo para que, na prova, você possa montar o sistema c+d=x,\;ac+bd=y e resolver por eliminação ou regra de Cramer.

Passo 5

Agora a parte (b). A projeção P cujo núcleo é F_{1} e imagem é F_{2} projeta cada vetor v em w (a componente sobre F_{2} na decomposição ao longo de F_{1}). Assim
P(x,y)=w = d(1,b) \quad\text{com}\quad d=\frac{a x - y}{a - b}.
Portanto, escrevendo em coordenadas:
P(x,y)=\frac{a x - y}{a - b}\,(1,b) = \left(\frac{a x - y}{a - b},\;\frac{b(a x - y)}{a - b}\right).
Para obter a matriz 2\times2 em relação à base canônica, escrevo P(x,y)=M\begin{pmatrix}x\\\ y\end{pmatrix}. Assim
M=\frac{1}{a-b}\begin{pmatrix} a & -1 \\[4pt] ab & -b \end{pmatrix}.
Como verificação rápida (útil na prova): as colunas desta matriz são P(1,0) e P(0,1).]

Passo 6

Parte (c): reflexão S em torno de F_{2} paralelamente a F_{1}. Conceito-chave: para a decomposição v=u+w com u\in F_1, w\in F_2, a reflexão em torno de F_2 trocando o sinal da componente na direção de F_1 é
S(v)= -u + w.
Em função da projeção P (que dá w), escrevo
S(v)=w - u = w - (v - w) = 2w - v = 2P(v) - v.
Logo a matriz de S é
S = 2M - I,
onde M é a matriz de P e I a identidade. Calculando:
S = 2\cdot\frac{1}{a-b}\begin{pmatrix} a & -1 \\[4pt] ab & -b \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.
Juntando termos com o mesmo denominador a-b,
S = \frac{1}{a-b}\begin{pmatrix}2a & -2\\[4pt]2ab & -2b\end{pmatrix} - \frac{a-b}{a-b}\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} = \frac{1}{a-b}\begin{pmatrix}a+b & -2\\[4pt]2ab & -a-b\end{pmatrix}.
Esta é a matriz buscada. (Dica prática: na prova você pode calcular S=2P-I mentalmente após achar P.)]

Resposta

(a) (x,y)=\dfrac{y - b x}{a - b}\,(1,a)+\dfrac{a x - y}{a - b}\,(1,b)
(b) \displaystyle P=\frac{1}{a-b}\begin{pmatrix} a & -1 \\[4pt] ab & -b \end{pmatrix}
(c) \displaystyle S=\frac{1}{a-b}\begin{pmatrix} a+b & -2 \\[4pt] 2ab & -a-b \end{pmatrix}]

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