No plano
, considere as retas
e
, definidas respectivamente pelas equações
e
, com
. Em seguida:
(a) Exprima cada vetor
como soma de um vetor em
e um vetor em
.
(b) Obtenha a matriz (em relação à base canônica) da projeção (não ortogonal)
, que tem
como núcleo e
como imagem.
(c) Acha a matriz da reflexão
, em torno da reta
paralelamente a
Dica: Faça uma figura!
(a) Exprima cada vetor
(b) Obtenha a matriz (em relação à base canônica) da projeção (não ortogonal)
(c) Acha a matriz da reflexão
Passo 1
O enunciado dá duas retas no plano
:
definida por
e
definida por
, com
. Temos um vetor genérico
. As perguntas são:
(a) escrever como soma de um vetor em
e um vetor em
;
(b) obter a matriz (na base canônica) da projeção cujo núcleo é
e a imagem é
(projeção ao longo de
sobre
);
(c) achar a matriz da reflexão em torno de
paralelamente a
.
(a) escrever
(b) obter a matriz (na base canônica) da projeção
(c) achar a matriz da reflexão
Informações relevantes:
,
,
, e
(portanto as direções são independentes).
Passo 2
Modelo a decomposição pedida. Se
Queremos
. Escrevendo coordenadas:
Isto gera o sistema linear em
:
Expliquei: representar um ponto numa reta por um escalar vezes um vetor diretor é a forma natural; por isso escolhi
como vetores diretores de
e
.]
Passo 3
Resolvo o sistema para
e
. Subtraindo
vezes a primeira equação da segunda ou usando eliminação direta:
Como
, o determinante é
, logo
Agora
, então
(Observação: podemos também escrever
e
; são equivalentes, apenas mudam o sinal comum no numerador e denominador.)
Passo 4
Concluo a parte (a): a decomposição pedida é
com
Expliquei cada passo para que, na prova, você possa montar o sistema
e resolver por eliminação ou regra de Cramer.
Passo 5
Agora a parte (b). A projeção
cujo núcleo é
e imagem é
projeta cada vetor
em
(a componente sobre
na decomposição ao longo de
). Assim
Portanto, escrevendo em coordenadas:
Para obter a matriz
em relação à base canônica, escrevo
. Assim
Como verificação rápida (útil na prova): as colunas desta matriz são
e
.]
Passo 6
Parte (c): reflexão
em torno de
paralelamente a
. Conceito-chave: para a decomposição
com
,
, a reflexão em torno de
trocando o sinal da componente na direção de
é
Em função da projeção
(que dá
), escrevo
Logo a matriz de
é
onde
é a matriz de
e
a identidade. Calculando:
Juntando termos com o mesmo denominador
,
Esta é a matriz buscada. (Dica prática: na prova você pode calcular
mentalmente após achar
.)]
Resposta
(a)
(b)
(c)
]