(3,0) Calcule a inversa da matriz
B=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 2 & 2 \\\\ 0 & 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & -1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a inversa da matriz B. A matriz dada é
B=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 2 \\\\ 0 & 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & -1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Informações relevantes: é uma matriz quadrada 4\times4. Queremos encontrar B^{-1}, isto é, a matriz que satisfaz
B\,B^{-1}=I_4,
onde I_4 é a matriz identidade 4\times4.

Passo 2

Método escolhido e por quê (explicação didática).
Vou usar o método de Gauss–Jordan (eliminações por linhas) sobre a matriz aumentada [B\mid I_4]. Ideia do método: juntamos B com I_4
[B\mid I_4]=\bigl[\,B\;\bigm|\;I_4\,\bigr]
e aplicamos operações elementares de linha (trocar linhas, multiplicar linha por escalar não nulo, somar múltiplo de uma linha a outra) até transformar o bloco esquerdo em I_4. As mesmas operações transformam o bloco direito em B^{-1}. Operações elementares são invertíveis, então o procedimento fornece a inversa quando B é invertível. Vou explicar cada operação e mostrar as matrizes intermediárias.

Passo 3

Começo escrevendo a matriz aumentada inicial [B\mid I_4]:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].

Passo 4

Zerar elementos abaixo do pivô da coluna 1. O pivô já está em R_1 ( 1 na posição (1,1)). Faço
R_4 \leftarrow R_4 - R_1.
Cálculo de R_4-R_1:
(1,0,0,1)-(1,0,2,2)=(0,0,-2,-1)
e no bloco direito
(0,0,0,1)-(1,0,0,0)=(-1,0,0,1).
Matriz aumentada resultante:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & -2 & -1 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].

Passo 5

Zerar o elemento abaixo do pivô da coluna 2. O pivô está em R_2 ( 1 na posição (2,2)). Faço
R_3 \leftarrow R_3 - R_2.
Cálculo de R_3-R_2:
(0,1,-1,1)-(0,1,0,1)=(0,0,-1,0)
e no bloco direito
(0,0,1,0)-(0,1,0,0)=(0,-1,1,0).
Matriz aumentada:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & -2 & -1 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].

Passo 6

Tornar o pivô da coluna 3 igual a 1. A linha R_3 tem -1 na coluna 3, então multiplico R_3 por -1:
R_3 \leftarrow -R_3.
Isso dá
R_3=(0,0,1,0\mid 0,1,-1,0).
Matriz aumentada:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 \\\\ 0 & 0 & -2 & -1 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].

Passo 7

Zerar os outros elementos na coluna 3 usando o pivô em R_3.
Faço
R_1 \leftarrow R_1 - 2R_3,\qquad R_4 \leftarrow R_4 + 2R_3.
Cálculos:
  • Para R_1: esquerda (1,0,2,2)-2(0,0,1,0)=(1,0,0,2). Direita (1,0,0,0)-2(0,1,-1,0)=(1,-2,2,0).
  • Para R_4: esquerda (0,0,-2,-1)+2(0,0,1,0)=(0,0,0,-1). Direita (-1,0,0,1)+2(0,1,-1,0)=(-1,2,-2,1).
Matriz aumentada:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & 2 & 1 & -2 & 2 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & 2 & -2 & 1 \end{array}\right].

Passo 8

Tornar o pivô da coluna 4 igual a 1 e zerar os elementos acima. A linha R_4 tem -1 na coluna 4, então faço primeiro
R_4 \leftarrow -R_4,
obtendo
R_4=(0,0,0,1\mid 1,-2,2,-1).
Agora zerar na coluna 4 em R_1 e R_2:
R_1 \leftarrow R_1 - 2R_4,\qquad R_2 \leftarrow R_2 - R_4.
Cálculos:
  • R_1 esquerda: (1,0,0,2)-2(0,0,0,1)=(1,0,0,0). Direita: (1,-2,2,0)-2(1,-2,2,-1) = (-1,2,-2,2).
  • R_2 esquerda: (0,1,0,1)-(0,0,0,1)=(0,1,0,0). Direita: (0,1,0,0)-(1,-2,2,-1)=(-1,3,-2,1).
Matriz aumentada final (bloco esquerdo já é I_4):
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 2 & -2 & 2 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 3 & -2 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & -2 & 2 & -1 \end{array}\right].

Passo 9

Interpretação do resultado: o bloco direito da matriz aumentada final é B^{-1}. Portanto,
B^{-1}=\begin{pmatrix} -1 & 2 & -2 & 2 \\\\ -1 & 3 & -2 & 1 \\\\ 0 & 1 & -1 & 0 \\\\ 1 & -2 & 2 & -1 \end{pmatrix}.

Resposta

\begin{pmatrix} -1 & 2 & -2 & 2 \\\\ -1 & 3 & -2 & 1 \\\\ 0 & 1 & -1 & 0 \\\\ 1 & -2 & 2 & -1 \end{pmatrix}

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