Fazer uma rotação e uma reflexão ortogonal no plano, encontre a matriz na base canônica.

Passo 1

O enunciado pede: “Fazer uma rotação e uma reflexão ortogonal no plano, encontre a matriz na base canônica.”
Vou interpretar isso assim (sem te perguntar nada, porque você pediu uma resolução direta): fazemos primeiro uma rotação no plano por um ângulo \theta (rotações positivas no sentido anti-horário) e em seguida aplicamos uma reflexão ortogonal em torno de uma reta que passa pela origem, cuja direção forma um ângulo \varphi com o eixo x.
Portanto:
  • Dados: o ângulo da rotação \theta e o ângulo da reta de reflexão \varphi.
  • Pedido: a matriz da transformação linear “reflexão (linha de ângulo \varphi) depois rotação (ângulo \theta)” na base canônica \{(1,0),(0,1)\}.

Passo 2

Primeiro recapitular a matriz da rotação em coordenadas canônicas.
A rotação por um ângulo \theta no plano transforma um vetor (x,y) em
(x',y') = (x\cos\theta - y\sin\theta,\; x\sin\theta + y\cos\theta).
A matriz nessa base canônica é, portanto,
R(\theta)=\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\[4pt] \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}.
Explicando rápido: a primeira coluna é a imagem de (1,0) e a segunda coluna é a imagem de (0,1).]

Passo 3

Agora a reflexão ortogonal em torno de uma reta que passa pela origem e faz ângulo \varphi com o eixo x. Vou construir essa matriz por etapas (muito didático):
  1. Rotaciono o sistema por -\varphi para levar a reta para o eixo x. Essa rotação é R(-\varphi).
  2. Faço a reflexão no eixo x. A matriz dessa reflexão é \begin{pmatrix}1&0\\[2pt]0&-1\end{pmatrix} (pois ela mantém a componente x e inverte a componente y).
  3. Rotaciono de volta por +\varphi com R(\varphi).
    Compondo: a matriz da reflexão em torno da reta de ângulo \varphi é
Q(\varphi)=R(\varphi)\begin{pmatrix}1&0\\[2pt]0&-1\end{pmatrix}R(-\varphi).
Fazendo a multiplicação e usando identidades trigonométricas, obtém-se a forma conhecida
Q(\varphi)=\begin{pmatrix} \cos(2\varphi) & \sin(2\varphi)\\[4pt] \sin(2\varphi) & -\cos(2\varphi) \end{pmatrix}.
Verificação rápida por casos: para \varphi=0 \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&-1\end{pmatrix} (reflexão no eixo x); para \varphi=\tfrac{\pi}{4} \begin{pmatrix}0&1\\\ 1&0\end{pmatrix} (reflexão em y=x) — bate.]

Passo 4

Queremos a matriz da composição: primeiro rotacionar por \theta (matriz R(\theta)) e depois refletir (matriz Q(\varphi)). Como matrizes representam transformações aplicadas da direita para a esquerda, a matriz da transformação composta é
M = Q(\varphi)\,R(\theta).

Passo 5

Agora calculamos explicitamente M = Q(\varphi)R(\theta). Escrevendo as duas matrizes:
Q(\varphi)=\begin{pmatrix} \cos(2\varphi) & \sin(2\varphi)\\[4pt] \sin(2\varphi) & -\cos(2\varphi) \end{pmatrix},\qquad R(\theta)=\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\[4pt] \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}.
Multiplicando (faça passo a passo as entradas):
  • Entrada (1,1):
m_{11}=\cos(2\varphi)\cos\theta+\sin(2\varphi)\sin\theta =\cos(\theta-2\varphi),
usando \cos A\cos B+\sin A\sin B=\cos(B-A).
  • Entrada (1,2):
m_{12}=\cos(2\varphi)(-\,\sin\theta)+\sin(2\varphi)\cos\theta =\sin(2\varphi)\cos\theta-\cos(2\varphi)\sin\theta =\sin(2\varphi-\theta).
  • Entrada (2,1):
m_{21}=\sin(2\varphi)\cos\theta+(-\cos(2\varphi))\sin\theta =\sin(2\varphi)\cos\theta-\cos(2\varphi)\sin\theta =\sin(2\varphi-\theta).
  • Entrada (2,2):
m_{22}=\sin(2\varphi)(-\,\sin\theta)+(-\cos(2\varphi))\cos\theta =-\big(\sin(2\varphi)\sin\theta+\cos(2\varphi)\cos\theta\big) =-\cos(\theta-2\varphi).
Portanto a matriz composta fica
M=\begin{pmatrix} \cos(\theta-2\varphi) & \sin(2\varphi-\theta)\\[4pt] \sin(2\varphi-\theta) & -\cos(\theta-2\varphi) \end{pmatrix}.
Observação útil (para memorizar): como \sin(2\varphi-\theta)=-\sin(\theta-2\varphi), outra forma equivalente é
M=\begin{pmatrix} \cos(\theta-2\varphi) & -\sin(\theta-2\varphi)\\[4pt] -\sin(\theta-2\varphi) & -\cos(\theta-2\varphi) \end{pmatrix},
onde aparece \Delta=\theta-2\varphi como parâmetro combinado.]

Passo 6

Interpretação e testes rápidos (pra você confiar na resposta):
  • Se \theta=0 (só reflexão), recuperamos Q(\varphi).
  • Se \varphi=0 (reflexão no eixo x depois da rotação), a matriz fica \begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\[4pt]-\sin\theta & -\cos\theta\end{pmatrix}, que coincide com a fórmula acima.
  • Note que, em geral, refletir e rotacionar não comutam; a ordem importa. Aqui calculei “reflexão depois da rotação” conforme declarado no Passo 1.]

Resposta

\begin{pmatrix} \cos(\theta-2\varphi) & \sin(2\varphi-\theta)\\[6pt] \sin(2\varphi-\theta) & -\cos(\theta-2\varphi) \end{pmatrix}]

Exercícios relacionados