Fazer uma rotação e uma reflexão ortogonal no plano, encontre a matriz na base canônica.
Passo 1
O enunciado pede: “Fazer uma rotação e uma reflexão ortogonal no plano, encontre a matriz na base canônica.”
Vou interpretar isso assim (sem te perguntar nada, porque você pediu uma resolução direta): fazemos primeiro uma rotação no plano por um ângulo (rotações positivas no sentido anti-horário) e em seguida aplicamos uma reflexão ortogonal em torno de uma reta que passa pela origem, cuja direção forma um ângulo
com o eixo
.
Portanto:
Vou interpretar isso assim (sem te perguntar nada, porque você pediu uma resolução direta): fazemos primeiro uma rotação no plano por um ângulo
Portanto:
- Dados: o ângulo da rotação
e o ângulo da reta de reflexão . - Pedido: a matriz da transformação linear “reflexão (linha de ângulo
) depois rotação (ângulo )” na base canônica .
Passo 2
Primeiro recapitular a matriz da rotação em coordenadas canônicas.
A rotação por um ângulo no plano transforma um vetor
em
A rotação por um ângulo
A matriz nessa base canônica é, portanto,
Explicando rápido: a primeira coluna é a imagem de
e a segunda coluna é a imagem de
.]
Passo 3
Agora a reflexão ortogonal em torno de uma reta que passa pela origem e faz ângulo
com o eixo
. Vou construir essa matriz por etapas (muito didático):
- Rotaciono o sistema por
para levar a reta para o eixo . Essa rotação é . - Faço a reflexão no eixo
. A matriz dessa reflexão é (pois ela mantém a componente e inverte a componente ). - Rotaciono de volta por
com .
Compondo: a matriz da reflexão em torno da reta de ânguloé
Fazendo a multiplicação e usando identidades trigonométricas, obtém-se a forma conhecida
Verificação rápida por casos: para
dá
(reflexão no eixo
); para
dá
(reflexão em
) — bate.]
Passo 4
Queremos a matriz da composição: primeiro rotacionar por
(matriz
) e depois refletir (matriz
). Como matrizes representam transformações aplicadas da direita para a esquerda, a matriz da transformação composta é
Passo 5
Agora calculamos explicitamente
. Escrevendo as duas matrizes:
Multiplicando (faça passo a passo as entradas):
- Entrada
:
usando
.
- Entrada
:
- Entrada
:
- Entrada
:
Portanto a matriz composta fica
Observação útil (para memorizar): como
, outra forma equivalente é
onde aparece
como parâmetro combinado.]
Passo 6
Interpretação e testes rápidos (pra você confiar na resposta):
- Se
(só reflexão), recuperamos . - Se
(reflexão no eixo depois da rotação), a matriz fica , que coincide com a fórmula acima. - Note que, em geral, refletir e rotacionar não comutam; a ordem importa. Aqui calculei “reflexão depois da rotação” conforme declarado no Passo 1.]