Em um plano ortonormal, dois conjuntos são definidos :
e
da seguinte forma :
Demonstrar por inclusão dupla que
.
Passo 1
O enunciado define dois conjuntos no plano ortonormal:
e
Queremos mostrar que
provando as inclusões
e
.
Passo 2
Provar
.
Seja . Então existe
tal que
Seja
Pelo identidade trigonométrica fundamental,
Logo
satisfaz
, ou seja,
. Portanto
.
Passo 3
Provar
.
Seja , isto é,
. Queremos encontrar
com
e
.
Seja
- Definimos
, de modo que e . - Como
, distinguimos: - Se
, basta tomar . Então e . - Se
, tomamos . Ainda e .
Em ambos os casos existecom , logo . Assim .
- Se
Resposta
Concluímos que
por inclusão dupla.