Em um plano ortonormal, dois conjuntos são definidos : C_{1} e C_{2} da seguinte forma :
\mathrm{C}_{1}=\left\{\mathrm{M}(\mathrm{x}, \mathrm{y}) / \mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}=1\right\} \text { e } \mathrm{C}_{2}=\{\mathrm{M}(\mathrm{x}, \mathrm{y}) / \exists \theta \in[0,2 \pi[, \mathrm{x}=\cos \theta \text { e } \mathrm{y}=\operatorname{sen} \theta\}
Demonstrar por inclusão dupla que \mathrm{C}_{1}=\mathrm{C}_{2}.

Passo 1

O enunciado define dois conjuntos no plano ortonormal:
\mathrm{C}_{1} = \{M(x,y)\mid x^{2}+y^{2}=1\}
e
\mathrm{C}_{2} = \{M(x,y)\mid \exists \theta\in[0,2\pi[\,,\,x=\cos\theta\text{ e }y=\sin\theta\}.
Queremos mostrar que \mathrm{C}_{1}=\mathrm{C}_{2} provando as inclusões \mathrm{C}_{2}\subseteq\mathrm{C}_{1} e \mathrm{C}_{1}\subseteq\mathrm{C}_{2}.

Passo 2

Provar \mathrm{C}_{2}\subseteq\mathrm{C}_{1}.
Seja M(x,y)\in \mathrm{C}_{2}. Então existe \theta\in[0,2\pi[ tal que
x = \cos\theta \quad\text{e}\quad y = \sin\theta.
Pelo identidade trigonométrica fundamental,
x^{2}+y^{2} = \cos^{2}\theta + \sin^{2}\theta = 1.
Logo M(x,y) satisfaz x^{2}+y^{2}=1, ou seja, M\in \mathrm{C}_{1}. Portanto \mathrm{C}_{2}\subseteq\mathrm{C}_{1}.

Passo 3

Provar \mathrm{C}_{1}\subseteq\mathrm{C}_{2}.
Seja M(x,y)\in \mathrm{C}_{1}, isto é, x^{2}+y^{2}=1. Queremos encontrar \theta\in[0,2\pi[ com x=\cos\theta e y=\sin\theta.
  1. Definimos \alpha = \operatorname{arccos}(x), de modo que \alpha\in[0,\pi] e \cos\alpha = x.
  2. Como \sin\alpha = \sqrt{1-\cos^{2}\alpha} = \sqrt{1-x^{2}}\ge0, distinguimos:
    • Se y\ge0, basta tomar \theta = \alpha. Então \cos\theta = x e \sin\theta = \sin\alpha = y.
    • Se y<0, tomamos \theta = 2\pi - \alpha\in[\pi,2\pi[. Ainda \cos\theta = \cos\alpha = x e \sin\theta = -\sin\alpha = y.
      Em ambos os casos existe \theta\in[0,2\pi[ com (x,y)=(\cos\theta,\sin\theta), logo M\in \mathrm{C}_{2}. Assim \mathrm{C}_{1}\subseteq\mathrm{C}_{2}.

Resposta

Concluímos que \mathrm{C}_{1}=\mathrm{C}_{2} por inclusão dupla.

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