O plano que é paralelo ao plano 2 x-y+3 z-5=0 e passa pelo ponto (-3,-2,1) é dado por
Escolha uma opção:
◯ a. 6 x-3 y+9 z+33=0
◯ b. -2 x+y-3 z-1=0
◯ c. 4 x-2 y+6 z-22=0
◯ d. -4 x+2 y-6 z-10=0
◯ e. -6 x+3 y-9 z+3=0

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o plano que é paralelo ao plano \,2x-y+3z-5=0\, e que passa pelo ponto \,(-3,-2,1).
Informações dadas e o que precisamos usar:
  • Plano dado: \,2x-y+3z-5=0\,.
  • Ponto pelo qual o novo plano deve passar: \,(-3,-2,1).
  • Precisamos escrever a equação do plano paralelo que passa por esse ponto e escolher a opção correta entre as alternativas.

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): a equação geral de um plano é \,ax+by+cz+d=0. O vetor normal ao plano é \,(a,b,c). Dois planos são paralelos se, e só se, seus vetores normais são paralelos (isto é, proporcionais). Portanto, para achar um plano paralelo ao dado, devemos manter os coeficientes de x,y,z proporcionais ao vetor normal do plano dado. No nosso caso o vetor normal do plano dado é \,(2,-1,3) (pegamos isso dos coeficientes de x,y,z do plano dado).

Passo 3

Construção do plano paralelo: como queremos um plano com o mesmo vetor normal, escrevemos a equação do plano procurado com os mesmos coeficientes de x,y,z e uma constante desconhecida D:
2x - y + 3z + D = 0.
Aqui \,D\, é a constante que ajusta a posição do plano ao longo da direção normal; encontrar D garante que o plano passe pelo ponto pedido.

Passo 4

Impor que o ponto \,(-3,-2,1)\, satisfaça a equação do plano: substituímos as coordenadas na equação para achar D.
2(-3) - (-2) + 3(1) + D = 0.
Calcule passo a passo:
-6 + 2 + 3 + D = 0,
-1 + D = 0,
D = 1.

Passo 5

Portanto a equação do plano é
2x - y + 3z + 1 = 0.
Observação (importante para comparar com as alternativas): duas equações que diferem por um fator multiplicativo não-nulo representam o mesmo plano. Se multiplicarmos a equação acima por -1 obtemos
-2x + y - 3z - 1 = 0,
que é algebraicamente a mesma família de pontos do plano anterior.

Passo 6

Comparando com as alternativas fornecidas, a alternativa que coincide com a forma multiplicada por -1 é a alternativa (b): -2x+y-3z-1=0. Logo a resposta correta é a letra (b).

Resposta

b. -2x+y-3z-1=0

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