Efetuar:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o produto vetorial
.
Informações dadas e que vamos usar: são vetores unitários e mutuamente ortogonais (os vetores da base canônica), com orientação de mão direita. Ou seja:
Informações dadas e que vamos usar:
e as relações cíclicas do produto vetorial:
Passo 2
Relembrando a definição e propriedades que precisamos (mini-aula rápida):
- O produto vetorial
é um vetor perpendicular a e . - Sua magnitude é
, onde é o ângulo entre e . - É anticomutativo:
. - Se
e são paralelos (ângulo ou ), então .
Também existe a identidade do produto vetorial triplo (muito útil):
onde
é o produto escalar. Aqui
são vetores quaisquer.
Passo 3
Método direto (mais simples neste caso): calcular primeiro o produto interno
. Pelas relações da base canônica, temos
Explicação rápida:
e
são ortogonais e unitários, o produto tem magnitude
e, pela orientação de mão direita, aponta na direção de
.
Passo 4
Continuando o método direto: agora calculamos
Mas
, porque um vetor cruz ele mesmo é paralelo ao próprio vetor (ângulo
), e o seno de
é zero, então o produto vetorial é o vetor nulo.
Passo 5
Verificação alternativa (usando a identidade do produto vetorial triplo) para confirmar e reforçar o conceito: use a identidade com
,
,
. Então
Como
é ortogonal a
e a
, temos
e
. Portanto o resultado é
que confirma o resultado obtido no método direto.