Efetuar:
\vec{i} \times(\vec{j} \times \vec{k})

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o produto vetorial \vec{i} \times (\vec{j} \times \vec{k}).
Informações dadas e que vamos usar: \vec{i},\vec{j},\vec{k} são vetores unitários e mutuamente ortogonais (os vetores da base canônica), com orientação de mão direita. Ou seja:
\vec{i}\cdot\vec{i}=1,\quad \vec{i}\cdot\vec{j}=0,\quad \vec{i}\cdot\vec{k}=0,
e as relações cíclicas do produto vetorial:
\vec{i}\times\vec{j}=\vec{k},\quad \vec{j}\times\vec{k}=\vec{i},\quad \vec{k}\times\vec{i}=\vec{j}.

Passo 2

Relembrando a definição e propriedades que precisamos (mini-aula rápida):
  • O produto vetorial \vec{a}\times\vec{b} é um vetor perpendicular a \vec{a} e \vec{b}.
  • Sua magnitude é |\vec{a}\times\vec{b}|=|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta, onde \theta é o ângulo entre \vec{a} e \vec{b}.
  • É anticomutativo: \vec{a}\times\vec{b}=-\,\vec{b}\times\vec{a}.
  • Se \vec{a} e \vec{b} são paralelos (ângulo 0 ou \pi), então \vec{a}\times\vec{b}=\vec{0}.
    Também existe a identidade do produto vetorial triplo (muito útil):
\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})=\vec{b}\,(\vec{a}\cdot\vec{c})-\vec{c}\,(\vec{a}\cdot\vec{b}),
onde \vec{a}\cdot\vec{b} é o produto escalar. Aqui \vec{a},\vec{b},\vec{c} são vetores quaisquer.

Passo 3

Método direto (mais simples neste caso): calcular primeiro o produto interno \vec{j}\times\vec{k}. Pelas relações da base canônica, temos
\vec{j}\times\vec{k}=\vec{i}.
Explicação rápida: \vec{j} e \vec{k} são ortogonais e unitários, o produto tem magnitude 1 e, pela orientação de mão direita, aponta na direção de \vec{i}.

Passo 4

Continuando o método direto: agora calculamos
\vec{i}\times(\vec{j}\times\vec{k})=\vec{i}\times\vec{i}.
Mas \vec{i}\times\vec{i}=\vec{0}, porque um vetor cruz ele mesmo é paralelo ao próprio vetor (ângulo 0), e o seno de 0 é zero, então o produto vetorial é o vetor nulo.

Passo 5

Verificação alternativa (usando a identidade do produto vetorial triplo) para confirmar e reforçar o conceito: use a identidade com \vec{a}=\vec{i}, \vec{b}=\vec{j}, \vec{c}=\vec{k}. Então
\vec{i}\times(\vec{j}\times\vec{k})=\vec{j}\,(\vec{i}\cdot\vec{k})-\vec{k}\,(\vec{i}\cdot\vec{j}).
Como \vec{i} é ortogonal a \vec{j} e a \vec{k}, temos \vec{i}\cdot\vec{k}=0 e \vec{i}\cdot\vec{j}=0. Portanto o resultado é
\vec{j}\cdot 0 - \vec{k}\cdot 0 = \vec{0},
que confirma o resultado obtido no método direto.

Resposta

\vec{0}

Exercícios relacionados