Sendo |\vec{u}|=3,|\vec{v}|=4 e 120^{\circ} o ângulo entre os vetores \vec{u} e \vec{v}, calcular:
(a) |\vec{u}+\vec{v}|
(b) |\vec{u} \times \vec{v}|
(c) o volume do paralelepípedo determinado por \vec{u} \times \vec{v}, \vec{u} e \vec{v}.

Passo 1

O enunciado dá as magnitudes dos vetores e o ângulo entre eles e pede três coisas. Dados importantes que vamos usar (já anotados):
|\vec{u}|=3,\qquad |\vec{v}|=4,\qquad \theta=120^\circ\\ \text{o ângulo entre }\vec{u}\text{ e }\vec{v}.â
Perguntas:
(a) calcular |\vec{u}+\vec{v}|.
(b) calcular |\vec{u}\times\vec{v}|.
(c) calcular o volume do paralelepípedo determinado por \vec{u}\times\vec{v},\\ \vec{u} e \vec{v}.

Passo 2

Recordando um fato útil (vou explicar como usar na prova): o produto escalar de dois vetores relaciona-se com o cosseno do ângulo entre eles por
\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}|\,|\vec{v}|\,\cos\theta.
Isso é prático porque nos dá um número (escalar) que aparece ao expandir quadrados de somas de vetores. No nosso caso podemos calcular
\vec{u}\cdot\vec{v}=3\cdot 4\cdot\cos(120^\circ).
Sabemos que \cos(120^\circ)=-\tfrac{1}{2}. Portanto
\vec{u}\cdot\vec{v}=12\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)=-6.

Passo 3

Para achar |\vec{u}+\vec{v}| usamos a identidade (fácil de demonstrar com produto escalar):
|\vec{u}+\vec{v}|^{2}=(\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}+\vec{v})=|\vec{u}|^{2}+2\vec{u}\cdot\vec{v}+|\vec{v}|^{2}.
Substituindo os valores que temos:
|\vec{u}+\vec{v}|^{2}=3^{2}+2(-6)+4^{2}=9-12+16=13.
Logo
|\vec{u}+\vec{v}|=\sqrt{13}.
Dica de prova: memorizar a identidade acima e lembrar de calcular \vec{u}\cdot\vec{v} via |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta.

Passo 4

Agora o produto vetorial. A magnitude do produto vetorial dá a área do paralelogramo gerado por \vec{u} e \vec{v} e satisfaz a fórmula
|\vec{u}\times\vec{v}|=|\vec{u}|\,|\vec{v}|\,\sin\theta.
No nosso caso:
|\vec{u}\times\vec{v}|=3\cdot 4\cdot\sin(120^\circ)=12\cdot\sin(120^\circ).
Sabemos que \sin(120^\circ)=\sin(60^\circ)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}. Portanto
|\vec{u}\times\vec{v}|=12\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}.
Lembrete prático: se o ângulo for obtuso como 120^\circ, o seno continua positivo porque o seno de 120^\circ é igual ao seno de 60^\circ.

Passo 5

Para o volume do paralelepípedo determinado por três vetores \vec{a},\vec{b},\vec{c} usamos o valor absoluto do produto misto (produto escalar de um com o produto vetorial dos outros):
\text{Volume}=|\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})|.
Aqui os vetores são \vec{a}=\vec{u}\times\vec{v},\\ \vec{b}=\vec{u},\\ \vec{c}=\vec{v}. Então
\text{Volume}=|(\vec{u}\times\vec{v})\cdot(\vec{u}\times\vec{v})|.
Mas o produto escalar de um vetor por ele mesmo é o quadrado da sua magnitude, logo
\text{Volume}=|\vec{u}\times\vec{v}|^{2}.
Já calculamos |\vec{u}\times\vec{v}|=6\sqrt{3}. Então
\text{Volume}=(6\sqrt{3})^{2}=36\cdot 3=108.
Observação para a prova: essa é uma maneira elegante — o volume fica simplesmente o quadrado da área do paralelogramo formado por \vec{u} e \vec{v}, quando um dos vetores do paralelepípedo é \vec{u}\times\vec{v}.

Resposta

(a) \sqrt{13}
(b) 6\sqrt{3}
(c) 108

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