Sendo
e
o ângulo entre os vetores
e
, calcular:
(a)
(b)
(c) o volume do paralelepípedo determinado por
e
.
(a)
(b)
(c) o volume do paralelepípedo determinado por
Passo 1
O enunciado dá as magnitudes dos vetores e o ângulo entre eles e pede três coisas. Dados importantes que vamos usar (já anotados):
Perguntas:
(a) calcular .
(b) calcular .
(c) calcular o volume do paralelepípedo determinado por e
.
(a) calcular
(b) calcular
(c) calcular o volume do paralelepípedo determinado por
Passo 2
Recordando um fato útil (vou explicar como usar na prova): o produto escalar de dois vetores relaciona-se com o cosseno do ângulo entre eles por
Isso é prático porque nos dá um número (escalar) que aparece ao expandir quadrados de somas de vetores. No nosso caso podemos calcular
Sabemos que
. Portanto
Passo 3
Para achar
usamos a identidade (fácil de demonstrar com produto escalar):
Substituindo os valores que temos:
Logo
Dica de prova: memorizar a identidade acima e lembrar de calcular
via
.
Passo 4
Agora o produto vetorial. A magnitude do produto vetorial dá a área do paralelogramo gerado por
e
e satisfaz a fórmula
No nosso caso:
Sabemos que
. Portanto
Lembrete prático: se o ângulo for obtuso como
, o seno continua positivo porque o seno de
é igual ao seno de
.
Passo 5
Para o volume do paralelepípedo determinado por três vetores
usamos o valor absoluto do produto misto (produto escalar de um com o produto vetorial dos outros):
Aqui os vetores são
. Então
Mas o produto escalar de um vetor por ele mesmo é o quadrado da sua magnitude, logo
Já calculamos
. Então
Observação para a prova: essa é uma maneira elegante — o volume fica simplesmente o quadrado da área do paralelogramo formado por
e
, quando um dos vetores do paralelepípedo é
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)