O plano que passa por (1,2,-1) e é perpendicular à reta de interseção dos planos 2 x+y+z=2 e x+2 y+z=3.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma coisa clara:
  • Um ponto por onde o plano deve passar: (1,2,-1).
  • Dois planos cujas equações são 2x+y+z=2e x+2y+z=3.
  • Pedido: encontrar a equação do plano que passa por (1,2,-1) e é perpendicular à reta de interseção dos dois planos dados.

Passo 2

Vamos entender o que significa “plano perpendicular à reta de interseção dos planos”. Precisamos relacionar vetores e planos:
  • Cada plano tem um vetor normal. Para um plano escrito como ax+by+cz=d, o vetor normal é (a,b,c). Esse vetor é perpendicular a todo vetor que esteja contido no plano.
  • A reta de interseção de dois planos tem uma direção que é perpendicular aos dois vetores normais dos planos; portanto essa direção é dada pelo produto vetorial (cross product) dos seus vetores normais.
  • Um plano é perpendicular a uma reta quando o vetor normal do plano é paralelo ao vetor direção da reta. Em outras palavras, se d é o vetor direção da reta, então o vetor normal N do plano procurado satisfaz N \parallel d.
Resumo prático que vamos usar: calcular o vetor direção d da reta de interseção como d = n_1 \times n_2, depois escolher o normal do plano N paralelo a d, e então usar a forma ponto-normal do plano:
N\cdot (X-P_0)=0,
onde X=(x,y,z) e P_0 é o ponto dado.

Passo 3

Identificar os vetores normais dos dois planos dados:
  • Para 2x+y+z=2 o vetor normal é n_1=(2,1,1).
  • Para x+2y+z=3 o vetor normal é n_2=(1,2,1).

Passo 4

Calcular o vetor direção d da reta de interseção usando o produto vetorial d = n_1 \times n_2.
Usando a fórmula do determinante:
d = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] 2 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 2 & 1 \end{vmatrix}
Calculando componente a componente:
d_x = 1\cdot1 - 1\cdot2 = 1-2 = -1,
d_y = -(2\cdot1 - 1\cdot1) = -(2-1)= -1,
d_z = 2\cdot2 - 1\cdot1 = 4-1 = 3.
Portanto
d = (-1,-1,3).]

Passo 5

Como o plano procurado é perpendicular à reta de direção d, o vetor normal do plano pode ser escolhido paralelo a d. Posso tomar
N = (-1,-1,3).
Observação: multiplicar N por -1 também dá um vetor normal válido; escolho, por simplicidade nas contas posteriores, o vetor equivalente
N = (1,1,-3),
que é paralelo a d.

Passo 6

Agora uso a forma ponto-normal do plano. Seja X=(x,y,z) o ponto genérico; o plano que tem normal N=(1,1,-3) e passa por P_0=(1,2,-1) satisfaz
N\cdot (X-P_0)=0.
Escrevendo isso:
(1,1,-3)\cdot (x-1,\,y-2,\,z-(-1))=0.
Calculando o produto escalar:
1\cdot(x-1) + 1\cdot(y-2) + (-3)\cdot(z+1)=0.
Expandindo e simplificando:
x-1 + y-2 -3z -3 = 0,
x + y -3z -6 = 0.
Reescrevendo de forma habitual:
x + y -3z = 6.

Passo 7

Verificações rápidas (para ganhar confiança):
  • Substituindo (1,2,-1) na equação: 1+2-3(-1)=3+3=6, certo.
  • O vetor normal escolhido (1,1,-3) é paralelo a d=(-1,-1,3) (são múltiplos), logo o plano é realmente perpendicular à reta de interseção.

Resposta

x+y-3z=6

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