O plano que passa por (1,2,-1) e é perpendicular à reta de interseção dos planos 2 x+y+z=2 e x+2 y+z=3.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede uma coisa clara:
Um ponto por onde o plano deve passar: (1,2,-1).
Dois planos cujas equações são2x+y+z=2ex+2y+z=3.
Pedido: encontrar a equação do plano que passa por (1,2,-1) e é perpendicular à reta de interseção dos dois planos dados.
Passo 2
Vamos entender o que significa “plano perpendicular à reta de interseção dos planos”. Precisamos relacionar vetores e planos:
Cada plano tem um vetor normal. Para um plano escrito como ax+by+cz=d, o vetor normal é (a,b,c). Esse vetor é perpendicular a todo vetor que esteja contido no plano.
A reta de interseção de dois planos tem uma direção que é perpendicular aos dois vetores normais dos planos; portanto essa direção é dada pelo produto vetorial (cross product) dos seus vetores normais.
Um plano é perpendicular a uma reta quando o vetor normal do plano é paralelo ao vetor direção da reta. Em outras palavras, se d é o vetor direção da reta, então o vetor normal N do plano procurado satisfaz N \parallel d.
Resumo prático que vamos usar: calcular o vetor direção d da reta de interseção como d = n_1 \times n_2, depois escolher o normal do plano N paralelo a d, e então usar a forma ponto-normal do plano:
N\cdot (X-P_0)=0,
onde X=(x,y,z) e P_0 é o ponto dado.
Passo 3
Identificar os vetores normais dos dois planos dados:
Para 2x+y+z=2 o vetor normal é n_1=(2,1,1).
Para x+2y+z=3 o vetor normal é n_2=(1,2,1).
Passo 4
Calcular o vetor direção d da reta de interseção usando o produto vetorial d = n_1 \times n_2.