O plano que passa pelo ponto (-1,4,2) e que contém a reta de interseção dos planos 4 x-y+z-2=0 e 2 x+y-2 z-3=0.

Passo 1

O enunciado dá:
  • Um ponto pelo qual o plano procurado passa: (-1,4,2).
  • Dois planos cujas equações são
4x - y + z - 2 = 0
e
2x + y - 2z - 3 = 0.
O que o enunciado pede: determinar a equação do plano que passa pelo ponto (-1,4,2) e contém a reta de interseção dos dois planos dados.

Passo 2

Ideia geral e escolha do método (explicação didática, sem pular etapas).
  • A reta de interseção dos dois planos dados é o conjunto de pontos que satisfazem ambas as equações ao mesmo tempo. Essa reta tem uma direção que é perpendicular aos vetores normais dos dois planos. Logo, a direção da reta é o produto vetorial (cross product) dos normais dos planos.
  • Depois de obter a direção da reta, preciso de um ponto sobre essa reta (um ponto que satisfaça simultaneamente as duas equações). Um modo simples é atribuir um valor conveniente a uma das coordenadas (por exemplo z=0) e resolver para x,y.
  • Um plano que contém essa reta e o ponto dado contém (i) o vetor direcional da reta e (ii) o vetor que liga qualquer ponto da reta ao ponto dado. Dois vetores não colineares que pertencem ao plano definem o plano; o produto vetorial desses dois vetores dá o vetor normal do plano. Com o normal e um ponto, obtemos a equação do plano.
    Vou aplicar esse método passo a passo.

Passo 3

Encontrar a direção da reta de interseção:
  • Normais dos planos (coeficientes de x,y,z nas equações):
\mathbf{n}_1 = (4,\,-1,\,1), \qquad \mathbf{n}_2 = (2,\,1,\,-2).
  • O vetor direcional da reta é o produto vetorial \mathbf{v}=\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2. Lembrando a regra do produto vetorial em coordenadas:
\mathbf{a}\times\mathbf{b} = \bigl(a_y b_z - a_z b_y,\; a_z b_x - a_x b_z,\; a_x b_y - a_y b_x\bigr).
Aplicando a fórmula:
\mathbf{v} = \mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2 = \bigl((-1)\cdot(-2) - 1\cdot 1,\; 1\cdot 2 - 4\cdot(-2),\; 4\cdot 1 - (-1)\cdot 2\bigr).
Calculando termo a termo:
\mathbf{v} = (2-1,\; 2-(-8),\; 4+2) = (1,\;10,\;6).
Portanto a direção da reta de interseção é \mathbf{v}=(1,10,6).

Passo 4

Encontrar um ponto qualquer Q\) na reta de interseção (resolver o sistema formado pelas duas equações). Escolho \(z=0\) para simplificar e resolvo \[\begin{cases} 4x - y + 0 = 2,\\[4pt] 2x + y - 0 = 3. \end{cases}
Somando as duas equações para eliminar y\]: \[(4x - y) + (2x + y) = 2 + 3 \quad\Rightarrow\quad 6x = 5 \quad\Rightarrow\quad x = \dfrac{5}{6}.\] Agora encontro \(y usando a segunda equação:
2\cdot\dfrac{5}{6} + y = 3 \quad\Rightarrow\quad \dfrac{5}{3} + y = 3 \quad\Rightarrow\quad y = 3 - \dfrac{5}{3} = \dfrac{4}{3}.
Portanto um ponto na reta de interseção é
Q=\left(\dfrac{5}{6},\,\dfrac{4}{3},\,0\right).]

Passo 5

Construir dois vetores do plano e obter o normal do plano:
  • Um vetor do plano é o vetor direcional da reta: \mathbf{v}=(1,10,6).
  • Outro vetor do plano é o vetor que vai de um ponto P_0 do problema até o ponto Q da reta. O ponto dado é P_0=(-1,4,2). Então
\overrightarrow{P_0Q} = Q - P_0 = \left(\dfrac{5}{6}-(-1),\;\dfrac{4}{3}-4,\;0-2\right) = \left(\dfrac{11}{6},\;-\dfrac{8}{3},\;-2\right).
Para evitar frações ao calcular o produto vetorial, multiplico esse vetor por 6 (isso só escala o vetor; o produto vetorial resultante pode ser simplificado depois). Assim uso
\mathbf{w} = 6\,\overrightarrow{P_0Q} = (11,\,-16,\,-12).
  • O vetor normal \mathbf{n} do plano é o produto vetorial entre \mathbf{v} e \mathbf{w}:
\mathbf{n} = \mathbf{v}\times\mathbf{w}.
Calculo componente a componente:
\mathbf{n} = \bigl(10\cdot(-12) - 6\cdot(-16),\;6\cdot 11 - 1\cdot(-12),\;1\cdot(-16) - 10\cdot 11\bigr).
\mathbf{n} = (-120 +96,\;66 +12,\;-16 -110) = (-24,\;78,\;-126).
Posso simplificar esse vetor dividindo por -6 (qualquer múltiplo não nulo do normal serve):
\mathbf{n}' = (4,\,-13,\,21).
Esse é um vetor normal mais simples e também normal do plano procurado.

Passo 6

Escrever a equação do plano usando o normal \mathbf{n}'=(4,-13,21) e o ponto P_0=(-1,4,2).
A equação do plano com normal \mathbf{n}' passando por P_0 é
\mathbf{n}'\cdot (x - P_0) = 0.
Em coordenadas:
4(x+1) -13(y-4) +21(z-2) = 0.
Desenvolvendo e somando termos constantes:
4x+4 -13y +52 +21z -42 = 0
4x -13y +21z + (4+52-42) = 0
4x -13y +21z +14 = 0.
Verificações rápidas (para garantir consistência):
  • O vetor direcional \mathbf{v}=(1,10,6) é ortogonal a \mathbf{n}':
\mathbf{n}'\cdot\mathbf{v} = 4\cdot1 + (-13)\cdot10 + 21\cdot6 = 4 -130 +126 = 0.
  • O ponto Q da reta satisfaz a equação (teste rápido): ao substituir Q obtém-se zero (confere).

Resposta

4x - 13y + 21z + 14 = 0

Exercícios relacionados