O plano que passa pelo ponto (-1,4,2) e que contém a reta de interseção dos planos 4 x-y+z-2=0 e 2 x+y-2 z-3=0.
Passo 1
O enunciado dá:
Um ponto pelo qual o plano procurado passa: (-1,4,2).
Dois planos cujas equações são
4x - y + z - 2 = 0
e
2x + y - 2z - 3 = 0.
O que o enunciado pede: determinar a equação do plano que passa pelo ponto (-1,4,2) e contém a reta de interseção dos dois planos dados.
Passo 2
Ideia geral e escolha do método (explicação didática, sem pular etapas).
A reta de interseção dos dois planos dados é o conjunto de pontos que satisfazem ambas as equações ao mesmo tempo. Essa reta tem uma direção que é perpendicular aos vetores normais dos dois planos. Logo, a direção da reta é o produto vetorial (cross product) dos normais dos planos.
Depois de obter a direção da reta, preciso de um ponto sobre essa reta (um ponto que satisfaça simultaneamente as duas equações). Um modo simples é atribuir um valor conveniente a uma das coordenadas (por exemplo z=0) e resolver para x,y.
Um plano que contém essa reta e o ponto dado contém (i) o vetor direcional da reta e (ii) o vetor que liga qualquer ponto da reta ao ponto dado. Dois vetores não colineares que pertencem ao plano definem o plano; o produto vetorial desses dois vetores dá o vetor normal do plano. Com o normal e um ponto, obtemos a equação do plano.
Vou aplicar esse método passo a passo.
Passo 3
Encontrar a direção da reta de interseção:
Normais dos planos (coeficientes de x,y,z nas equações):
Portanto a direção da reta de interseção é \mathbf{v}=(1,10,6).
Passo 4
Encontrar um ponto qualquer Q\) na reta de interseção (resolver o sistema formado pelas duas equações).
Escolho \(z=0\) para simplificar e resolvo
\[\begin{cases} 4x - y + 0 = 2,\\[4pt] 2x + y - 0 = 3. \end{cases}
Somando as duas equações para eliminar y\]:
\[(4x - y) + (2x + y) = 2 + 3 \quad\Rightarrow\quad 6x = 5 \quad\Rightarrow\quad x = \dfrac{5}{6}.\]
Agora encontro \(y usando a segunda equação:
2\cdot\dfrac{5}{6} + y = 3 \quad\Rightarrow\quad \dfrac{5}{3} + y = 3 \quad\Rightarrow\quad y = 3 - \dfrac{5}{3} = \dfrac{4}{3}.
Portanto um ponto na reta de interseção é
Q=\left(\dfrac{5}{6},\,\dfrac{4}{3},\,0\right).]
Passo 5
Construir dois vetores do plano e obter o normal do plano:
Um vetor do plano é o vetor direcional da reta: \mathbf{v}=(1,10,6).
Outro vetor do plano é o vetor que vai de um ponto P_0 do problema até o ponto Q da reta. O ponto dado é P_0=(-1,4,2). Então
Para evitar frações ao calcular o produto vetorial, multiplico esse vetor por 6 (isso só escala o vetor; o produto vetorial resultante pode ser simplificado depois). Assim uso
Posso simplificar esse vetor dividindo por -6 (qualquer múltiplo não nulo do normal serve):
\mathbf{n}' = (4,\,-13,\,21).
Esse é um vetor normal mais simples e também normal do plano procurado.
Passo 6
Escrever a equação do plano usando o normal \mathbf{n}'=(4,-13,21) e o ponto P_0=(-1,4,2).
A equação do plano com normal \mathbf{n}' passando por P_0 é