O plano pela origem que é paralelo ao plano de equação 4 x-2 y+7 z+12=0.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a equação do plano que passa pela origem e é paralelo ao plano de equação 4x-2y+7z+12=0.
Informações fornecidas:
  • A equação do plano dado é 4x-2y+7z+12=0.
  • O plano procurado deve passar pela origem, isto é, pelo ponto (0,0,0).

Passo 2

Entendendo a forma geral de um plano e o vetor normal.
Uma equação geral de um plano no espaço é
ax+by+cz+d=0,
onde a,b,c,d são constantes. O vetor normal ao plano (vetor perpendicular ao plano) é
\mathbf{n}=(a,b,c).
Explicação didática: se \mathbf{v} é um vetor tangente ao plano, então o produto escalar \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}=0. Por isso os coeficientes a,b,c determinam a direção perpendicular ao plano.

Passo 3

Obter o vetor normal do plano dado.
Comparando \,4x-2y+7z+12=0 com \,ax+by+cz+d=0, vemos que
a=4,\quad b=-2,\quad c=7,
logo o vetor normal do plano dado é
\mathbf{n}=(4,-2,7).

Passo 4

Condição de paralelismo entre planos.
Dois planos são paralelos se, e somente se, seus vetores normais são paralelos (isto é, iguais ou múltiplos escalares). Portanto, um plano paralelo ao dado terá vetor normal proporcional a \mathbf{n}=(4,-2,7). Podemos escolher a mesma normal para simplicidade; assim a equação geral do plano paralelo é
4x-2y+7z+d=0,
onde d é uma constante a determinar.

Passo 5

Impor que o plano passe pela origem.
Como o plano deve conter o ponto (0,0,0), substitui-se essas coordenadas na equação:
4\cdot 0 -2\cdot 0 +7\cdot 0 + d = 0 \quad\Rightarrow\quad d=0.
Portanto a equação do plano que procuramos é
4x-2y+7z=0.

Passo 6

Observações finais e verificação.
  • A equação \,4x-2y+7z=0 tem o mesmo vetor normal (4,-2,7) do plano dado, logo os planos são paralelos.
  • Como o termo constante é 0, o plano passa pela origem.
  • Pode-se multiplicar todos os coeficientes por um escalar não nulo sem alterar o plano; a forma acima é a mais direta.

Resposta

4x-2y+7z=0

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