O plano pela origem que é paralelo ao plano de equação
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a equação do plano que passa pela origem e é paralelo ao plano de equação
.
Informações fornecidas:
- A equação do plano dado é
. - O plano procurado deve passar pela origem, isto é, pelo ponto
.
Passo 2
Entendendo a forma geral de um plano e o vetor normal.
Uma equação geral de um plano no espaço é
Uma equação geral de um plano no espaço é
onde
são constantes. O vetor normal ao plano (vetor perpendicular ao plano) é
Explicação didática: se
é um vetor tangente ao plano, então o produto escalar
. Por isso os coeficientes
determinam a direção perpendicular ao plano.
Passo 3
Obter o vetor normal do plano dado.
Comparando com
, vemos que
Comparando
logo o vetor normal do plano dado é
Passo 4
Condição de paralelismo entre planos.
Dois planos são paralelos se, e somente se, seus vetores normais são paralelos (isto é, iguais ou múltiplos escalares). Portanto, um plano paralelo ao dado terá vetor normal proporcional a . Podemos escolher a mesma normal para simplicidade; assim a equação geral do plano paralelo é
Dois planos são paralelos se, e somente se, seus vetores normais são paralelos (isto é, iguais ou múltiplos escalares). Portanto, um plano paralelo ao dado terá vetor normal proporcional a
onde
é uma constante a determinar.
Passo 5
Impor que o plano passe pela origem.
Como o plano deve conter o ponto , substitui-se essas coordenadas na equação:
Como o plano deve conter o ponto
Portanto a equação do plano que procuramos é
Passo 6
Observações finais e verificação.
- A equação
tem o mesmo vetor normal do plano dado, logo os planos são paralelos. - Como o termo constante é
, o plano passa pela origem. - Pode-se multiplicar todos os coeficientes por um escalar não nulo sem alterar o plano; a forma acima é a mais direta.