O plano que passa pelo ponto A=(46,64,2) e é ortogonal à reta dada por \frac{x-1}{7}=\frac{2-y}{2}=2 z+10 tem equação 7 x-a y+\frac{z}{2}=b para certos números reais a, b. A soma a+b é

Passo 1

O enunciado pede o plano que passa por A=(46,64,2) e é ortogonal à reta
\frac{x-1}{7} \;=\;\frac{2-y}{2}\;=\;2z+10.
Como um plano é ortogonal a uma reta quando seu vetor normal é paralelo ao vetor diretor da reta, vamos extrair o vetor diretor da reta e igualá-lo ao vetor normal do plano, que pela forma dada 7x - a y + \tfrac{z}{2}=b é n=(7,-a,\tfrac12).

Passo 2

Parametrizando a reta pelo parâmetro t tal que
\frac{x-1}{7}=t,\quad \frac{2-y}{2}=t,\quad 2z+10=t,
temos
x=1+7t,\quad y=2-2t,\quad z=\frac{t-10}{2}.
Logo o vetor diretor é
d=\Bigl(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt},\frac{dz}{dt}\Bigr) =(7,\,-2,\tfrac12).

Passo 3

O vetor normal do plano, pela equação 7x - a y + \tfrac z2 = b, é
n = \bigl(7,\,-a,\,\tfrac12\bigr).
Para que o plano seja ortogonal à reta, precisamos de n\parallel d.

Passo 4

Paralelismo implica proporção entre componentes:
\frac{7}{7}=\frac{-a}{-2}=\frac{\tfrac12}{\tfrac12}.
Dessa igualdade segue
\frac{-a}{-2}=1 \quad\Longrightarrow\quad a=2.

Passo 5

Com a=2, determinamos b fazendo o plano passar em A=(46,64,2):
b=7\cdot46 - 2\cdot64 + \frac{2}{2} =322 -128 +1 =195.

Passo 6

Calculamos a soma
a+b=2+195=197.

Resposta

197

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