De acordo com a Lei de Boyle, se a temperatura de um gás confinado for mantida constante, então o produto da pressão P pelo volume V é uma constante. Suponha que, para um certo gás, P V =4000, P é medido em pascals e V é medido em litros.
(a) Encontre a taxa de variação média de P quando V aumenta de 31 para 41.
(b) Expresse V como uma função de P e mostre que a taxa de variação instantânea de V em relação a P é inversamente proporcional ao quadrado de P.

Passo 1

O enunciado usa a Lei de Boyle, que diz que o produto da pressão P pelo volume V de um gás é constante quando a temperatura é fixa. Aqui temos
P\,V = 4000,
com P em pascals e V em litros. Precisamos de duas coisas:
– (a) a taxa de variação média de P quando V vai de 31 a 41.
– (b) escrever V como função de P e mostrar que \frac{dV}{dP} é inversamente proporcional a P^2.

Passo 2

Primeiro expressamos P em função de V:
P(V) = \frac{4000}{V}.
A taxa de variação média de P entre V=31 e V=41 é
\frac{\Delta P}{\Delta V} = \frac{P(41) - P(31)}{41 - 31} = \frac{\frac{4000}{41} - \frac{4000}{31}}{10}.

Passo 3

Agora simplificamos:
\frac{\Delta P}{\Delta V} = \frac{4000}{10}\Bigl(\frac{1}{41}-\frac{1}{31}\Bigr) = 400\cdot\frac{31-41}{41\cdot31} = 400\cdot\frac{-10}{1271} = -\frac{4000}{1271}\\ \text{Pa por litro (aprox. }-3{,}15\text{).}

Passo 4

Para a parte (b), isolamos V em função de P:
V(P) = \frac{4000}{P}.

Passo 5

Calculamos a derivada de V em relação a P:
\frac{dV}{dP} = \frac{d}{dP}\Bigl(\frac{4000}{P}\Bigr) = -\frac{4000}{P^2}.
Como esse resultado é da forma -\frac{\text{constante}}{P^2}, ele mostra que \frac{dV}{dP} é inversamente proporcional a P^2.

Resposta

(a) \displaystyle -\frac{4000}{1271} Pa/L (aprox. -3{,}15 Pa/L).
(b) V(P)=\frac{4000}{P} e \displaystyle \frac{dV}{dP}=-\frac{4000}{P^2}, que é inversamente proporcional a P^2.

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