O plano \pi perpendicular aos planos \pi_{1}: 4 x-y+2 z-1=0 e \pi_{2}: 2 x-2 y-5 z-3=0 é:
Escolha uma opção:
◯ a. \pi: 16 x+10 y+4 z-2=0
◯ b. \pi: 18 x+5 y-22 z-2=0
◯ c. \pi: 16 x+22 y-4 z-2=0
◯ d. \pi: 9 x+24 y-6 z-2=0
◯ e. \pi: 18 x-18 z-2=0

Passo 1

O enunciado dá dois planos:
\pi_{1}: 4x - y + 2z - 1 = 0
\pi_{2}: 2x - 2y - 5z - 3 = 0
e pede o plano \pi que é perpendicular aos dois planos \pi_{1} e \pi_{2}. As informações relevantes são as equações acima; a resposta deve ser uma das alternativas (a)–(e).

Passo 2

Primeiro conceito importante (explicação didática): a equação geral de um plano é
ax + by + cz + d = 0,
onde o vetor normal ao plano é \mathbf{n} = (a,b,c). Dois planos são perpendiculares quando seus vetores normais são perpendiculares, ou seja, quando o produto escalar entre os normais é zero. Por isso, se \pi é perpendicular a \pi_{1} e a \pi_{2}, o normal de \pi deve ser ortogonal tanto ao normal de \pi_{1} quanto ao normal de \pi_{2}.

Passo 3

Identifico os vetores normais dados pelas duas equações:
\mathbf{n}_{1} = (4,-1,2)
\mathbf{n}_{2} = (2,-2,-5)
Um vetor ortogonal a ambos \mathbf{n}_{1} e \mathbf{n}_{2} é o produto vetorial \mathbf{n} = \mathbf{n}_{1}\times\mathbf{n}_{2}. Vou calcular componente a componente usando determinante:
\mathbf{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 4 & -1 & 2 \\\\ 2 & -2 & -5 \end{vmatrix}
Cálculo das componentes:
  • componente x ( \mathbf{i}): (-1)\cdot(-5) - 2\cdot(-2) = 5 - (-4) = 9,
  • componente y (com sinal trocado porque é a segunda componente): -\big(4\cdot(-5) - 2\cdot 2\big) = -(-20 - 4) = 24,
  • componente z ( \mathbf{k}): 4\cdot(-2) - (-1)\cdot 2 = -8 - (-2) = -6.
Logo
\mathbf{n} = (9,\,24,\,-6).

Passo 4

Verificação rápida (para fixar a ideia): confirmar que \mathbf{n} é ortogonal aos dois normais calculando produtos escalares:
\mathbf{n}\cdot\mathbf{n}_{1} = 9\cdot4 + 24\cdot(-1) + (-6)\cdot2 = 36 -24 -12 = 0,
\mathbf{n}\cdot\mathbf{n}_{2} = 9\cdot2 + 24\cdot(-2) + (-6)\cdot(-5) = 18 -48 +30 = 0.
Perfeito — \mathbf{n} é ortogonal a ambos, como queríamos.

Passo 5

Interpretação prática para escolher entre as alternativas: a equação de qualquer plano perpendicular a \pi_{1} e \pi_{2} terá os coeficientes proporcionais a (9,24,-6). Das alternativas dadas, a opção que tem exatamente esses coeficientes é a alternativa (d):
\pi: 9x + 24y - 6z - 2 = 0.
Observação didática: o termo constante ( -2) não interfere na condição de perpendicularidade — ele apenas desloca o plano ao longo da direção normal. Como só uma alternativa apresenta o vetor normal correto, essa é a resposta única entre as opções.

Resposta

d. \pi: 9 x+24 y-6 z-2=0

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