Em relação a posição relativa temos:
Se \overrightarrow{v_{1}} \cdot \overrightarrow{n_{1}} \neq 0 então a reta e o plano são:

Passo 1

O enunciado pergunta: “Se \overrightarrow{v_{1}} \cdot \overrightarrow{n_{1}} \neq 0 então a reta e o plano são: ?”.\n
Informações dadas:
  • Existe uma reta cujo vetor diretor é \overrightarrow{v_{1}}.
  • Existe um plano cujo vetor normal é \overrightarrow{n_{1}}.
  • A condição é \overrightarrow{v_{1}} \cdot \overrightarrow{n_{1}} \neq 0.
  • Precisa-se classificar a posição relativa entre essa reta e esse plano (por exemplo: paralelos, coincidentes, secantes, etc.).

Passo 2

O que significa o produto escalar (dot product) geometricamente?\n
Definição: para dois vetores \overrightarrow{a} e \overrightarrow{b},
\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}= \lVert \overrightarrow{a}\rVert \,\lVert \overrightarrow{b}\rVert \cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre eles, e \lVert\cdot\rVert é o comprimento do vetor. Explicando em linguagem simples: o produto escalar mede quanto um vetor “projeta” no outro. Se \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0, então \cos\theta=0 e os vetores são perpendiculares ( \theta=90^\circ). Se o produto escalar é diferente de zero, então os vetores não são perpendiculares.

Passo 3

Como isso se relaciona com uma reta e um plano?\n
  • O vetor normal \overrightarrow{n_{1}} é perpendicular a todo vetor que fica dentro do plano.
  • Se o vetor diretor da reta \overrightarrow{v_{1}} satisfaz \overrightarrow{v_{1}}\cdot\overrightarrow{n_{1}}=0, então \overrightarrow{v_{1}} é perpendicular a \overrightarrow{n_{1}}, ou seja, \overrightarrow{v_{1}} é paralelo ao plano. Assim, produto escalar zero ⇨ reta paralela ao plano (ou contida no plano, dependendo da posição inicial).
  • Portanto, o caso complementar \overrightarrow{v_{1}}\cdot\overrightarrow{n_{1}}\neq0 significa que \overrightarrow{v_{1}} não é paralelo ao plano. Logo a reta NÃO é paralela ao plano — ela corta o plano em algum ponto.

Passo 4

Demonstração algébrica de que existe exatamente um ponto de interseção\n
Seja uma reta dada parametricamente por
\vec r(t)=\vec p + t\,\overrightarrow{v_{1}},
onde \vec p é um ponto qualquer da reta e t\in\mathbb{R}. Seja o plano definido por um ponto \vec r_{0} do plano e o vetor normal \overrightarrow{n_{1}} através da equação
\overrightarrow{n_{1}}\cdot(\vec r-\vec r_{0})=0.
Substituindo a reta na equação do plano:
\overrightarrow{n_{1}}\cdot(\vec p + t\,\overrightarrow{v_{1}} - \vec r_{0})=0.
Isso dá a equação linear em t:
\bigl(\overrightarrow{n_{1}}\cdot\overrightarrow{v_{1}}\bigr)\,t + \overrightarrow{n_{1}}\cdot(\vec p-\vec r_{0})=0.
Como \overrightarrow{n_{1}}\cdot\overrightarrow{v_{1}}\neq0 (hipótese), o coeficiente de t é não nulo, então essa equação tem exatamente uma solução para t. Com esse único valor de t obtemos exatamente um ponto \vec r(t) de interseção. Portanto a reta corta o plano em exatamente um ponto.

Passo 5

Exemplo numérico curto para fixar a ideia\n
Considere \overrightarrow{v_{1}}=(1,2,3) e \overrightarrow{n_{1}}=(0,1,0). Então
\overrightarrow{v_{1}}\cdot\overrightarrow{n_{1}} = 1\cdot 0 + 2\cdot 1 + 3\cdot 0 = 2 \neq 0.
Se a reta passa por \vec p=(0,0,0) com direção \overrightarrow{v_{1}} e o plano é y=1 (um ponto no plano é \vec r_{0}=(0,1,0)), substituindo temos
2t + \overrightarrow{n_{1}}\cdot(\vec p-\vec r_{0}) = 2t + (0,1,0)\cdot(0,-1,0) = 2t -1 =0,
logo t=\tfrac{1}{2}. O ponto de interseção é \vec r(\tfrac{1}{2})=(\tfrac{1}{2},1,\tfrac{3}{2}). Um único ponto, como a demonstração geral prevê.

Passo 6

Interpretação final e dica para prova\n
  • Sempre que você vê \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{n}=0, pense “diretor da reta é perpendicular ao normal do plano” ⇒ reta paralela ao plano (pode ser contida).
  • Se \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{n}\neq0, pense “não são perpendiculares” ⇒ reta atravessa o plano; use a substituição paramétrica para encontrar o ponto de interseção (resolver uma equação linear em t). Isso é rápido e confiável em prova.

Resposta

Secantes — a reta corta o plano em exatamente um ponto.

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