onde \theta é o ângulo entre eles, e \lVert\cdot\rVert é o comprimento do vetor. Explicando em linguagem simples: o produto escalar mede quanto um vetor “projeta” no outro. Se \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0, então \cos\theta=0 e os vetores são perpendiculares (\theta=90^\circ). Se o produto escalar é diferente de zero, então os vetores não são perpendiculares.
Passo 3
Como isso se relaciona com uma reta e um plano?\n
O vetor normal \overrightarrow{n_{1}} é perpendicular a todo vetor que fica dentro do plano.
Se o vetor diretor da reta \overrightarrow{v_{1}} satisfaz \overrightarrow{v_{1}}\cdot\overrightarrow{n_{1}}=0, então \overrightarrow{v_{1}} é perpendicular a \overrightarrow{n_{1}}, ou seja, \overrightarrow{v_{1}} é paralelo ao plano. Assim, produto escalar zero ⇨ reta paralela ao plano (ou contida no plano, dependendo da posição inicial).
Portanto, o caso complementar \overrightarrow{v_{1}}\cdot\overrightarrow{n_{1}}\neq0 significa que \overrightarrow{v_{1}} não é paralelo ao plano. Logo a reta NÃO é paralela ao plano — ela corta o plano em algum ponto.
Passo 4
Demonstração algébrica de que existe exatamente um ponto de interseção\n
Seja uma reta dada parametricamente por
\vec r(t)=\vec p + t\,\overrightarrow{v_{1}},
onde \vec p é um ponto qualquer da reta e t\in\mathbb{R}. Seja o plano definido por um ponto \vec r_{0} do plano e o vetor normal \overrightarrow{n_{1}} através da equação
\overrightarrow{n_{1}}\cdot(\vec r-\vec r_{0})=0.
Substituindo a reta na equação do plano:
\overrightarrow{n_{1}}\cdot(\vec p + t\,\overrightarrow{v_{1}} - \vec r_{0})=0.
Como \overrightarrow{n_{1}}\cdot\overrightarrow{v_{1}}\neq0 (hipótese), o coeficiente de t é não nulo, então essa equação tem exatamente uma solução para t. Com esse único valor de t obtemos exatamente um ponto \vec r(t) de interseção. Portanto a reta corta o plano em exatamente um ponto.
Passo 5
Exemplo numérico curto para fixar a ideia\n
Considere \overrightarrow{v_{1}}=(1,2,3) e \overrightarrow{n_{1}}=(0,1,0). Então
logo t=\tfrac{1}{2}. O ponto de interseção é \vec r(\tfrac{1}{2})=(\tfrac{1}{2},1,\tfrac{3}{2}). Um único ponto, como a demonstração geral prevê.
Passo 6
Interpretação final e dica para prova\n
Sempre que você vê \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{n}=0, pense “diretor da reta é perpendicular ao normal do plano” ⇒ reta paralela ao plano (pode ser contida).
Se \overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{n}\neq0, pense “não são perpendiculares” ⇒ reta atravessa o plano; use a substituição paramétrica para encontrar o ponto de interseção (resolver uma equação linear em t). Isso é rápido e confiável em prova.
Resposta
Secantes — a reta corta o plano em exatamente um ponto.