Em relação a posição relativa temos:
Se \overrightarrow{v_{1}}=\lambda \overrightarrow{v_{2}}, \lambda \in \mathbb{R} e P_{1} \in r_{2}, então as retas são:

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
\overrightarrow{v_{1}}=\lambda \overrightarrow{v_{2}},\\ \lambda \in \mathbb{R} e P_{1}\in r_{2}.
A pergunta é: qual é a posição relativa entre as retas r_{1} e r_{2} dadas essas informações? Ou seja, as retas são paralelas, coincidentes, concorrentes, etc.?

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação paramétrica padrão de cada reta, porque isso facilita manipular pontos e vetores. Seja P_{1} um ponto de r_{1} e \overrightarrow{v_{1}} seu vetor diretor; seja P_{2} um ponto de r_{2} e \overrightarrow{v_{2}} seu vetor diretor. As formas paramétricas são:
r_{1}:\; X = P_{1} + s\,\overrightarrow{v_{1}},\quad s\in\mathbb{R},
r_{2}:\; X = P_{2} + t\,\overrightarrow{v_{2}},\quad t\in\mathbb{R}.
Aqui X representa um ponto genérico da reta; s e t são parâmetros reais. Sempre que eu escrever P_{1}+s\overrightarrow{v_{1}} estou somando o vetor posição de P_{1} com um múltiplo do vetor diretor para obter qualquer ponto da reta.

Passo 3

A condição \overrightarrow{v_{1}}=\lambda \overrightarrow{v_{2}} diz que os vetores diretores são múltiplos escalares um do outro. Isso significa que as retas são paralelas ou colineares (podem ser exatamente a mesma reta). Importante: vetores diretores de uma reta não podem ser o vetor nulo; então assumimos que \overrightarrow{v_{2}}\neq\overrightarrow{0}, o que implica que se \overrightarrow{v_{1}}=\lambda\overrightarrow{v_{2}} então \lambda\neq 0 ou, se \lambda=0, isso seria contraditório com a existência de r_{1} como reta com vetor diretor não nulo — portanto a situação relevante é \lambda\neq 0.

Passo 4

A hipótese adicional é P_{1}\in r_{2}. Isso significa que existe algum t_{0}\in\mathbb{R} tal que
P_{1} = P_{2} + t_{0}\,\overrightarrow{v_{2}}.
Vou usar essa relação para comparar os conjuntos de pontos das duas retas.

Passo 5

Vou mostrar que todo ponto de r_{1} pertence a r_{2}, ou seja r_{1}\subseteq r_{2}. Tome um ponto genérico de r_{1}: P_{1}+s\,\overrightarrow{v_{1}} para algum s\in\mathbb{R}. Substituindo \overrightarrow{v_{1}}=\lambda\overrightarrow{v_{2}} e P_{1}=P_{2}+t_{0}\overrightarrow{v_{2}} obtemos:
P_{1}+s\,\overrightarrow{v_{1}} = (P_{2}+t_{0}\,\overrightarrow{v_{2}}) + s(\lambda\overrightarrow{v_{2}}) = P_{2} + (t_{0}+s\lambda)\,\overrightarrow{v_{2}}.
Como t_{0}+s\lambda é um número real para qualquer s, esse ponto está na forma P_{2}+t\overrightarrow{v_{2}} com t=t_{0}+s\lambda; logo pertence a r_{2}. Portanto r_{1}\subseteq r_{2}.

Passo 6

Agora mostro a inclusão inversa r_{2}\subseteq r_{1}. Tome um ponto genérico de r_{2}: P_{2}+t\,\overrightarrow{v_{2}}. Usando P_{2}=P_{1}-t_{0}\overrightarrow{v_{2}} (rearranjando P_{1}=P_{2}+t_{0}\overrightarrow{v_{2}}) e \overrightarrow{v_{2}}=\dfrac{1}{\lambda}\overrightarrow{v_{1}} (aqui usamos \lambda\neq 0 para inverter), obtemos:
P_{2}+t\,\overrightarrow{v_{2}} = \bigl(P_{1}-t_{0}\,\overrightarrow{v_{2}}\bigr) + t\,\overrightarrow{v_{2}} = P_{1} + (t-t_{0})\,\overrightarrow{v_{2}} = P_{1} + \frac{t-t_{0}}{\lambda}\,\overrightarrow{v_{1}}.
Como \dfrac{t-t_{0}}{\lambda}\in\mathbb{R}, este ponto tem a forma P_{1}+s\,\overrightarrow{v_{1}} com s=\dfrac{t-t_{0}}{\lambda}; logo pertence a r_{1}. Portanto r_{2}\subseteq r_{1}.

Passo 7

Das inclusões r_{1}\subseteq r_{2} e r_{2}\subseteq r_{1} concluímos que os conjuntos são iguais:
r_{1}=r_{2}.
Ou seja, as retas coincidem — são a mesma reta, não apenas paralelas. Intuitivamente: ter direções colineares e um ponto em comum implica que elas se sobrepõem totalmente.

Resposta

Coincidentes

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