Um plano \pi possui infinitas equações vetoriais distintas.
Escolha uma opçäo:
Verdadeiro
Falso

Passo 1

O enunciado afirma que dado um plano \pi, existem infinitas equações vetoriais distintas que o descrevem. O conteúdo aqui é a forma paramétrica (vetorial) de um plano no espaço, que usa um ponto base e dois vetores diretores.

Passo 2

Lembrando a definição: qualquer plano pode ser escrito em forma vetorial como
\vec{r} = \vec{r_0} + s\,\vec{u} + t\,\vec{v},
onde \vec{r_0} é um ponto fixo em \pi e \vec{u},\vec{v} são dois vetores linearmente independentes contidos em \pi; s e t variam em \mathbb{R}.

Passo 3

Para ver que há infinitas equações, note que podemos escolher infinitos pontos distintos \vec{r_0} em \pi. Cada ponto gera uma nova forma
\vec{r} = \vec{r_1} + s\,\vec{u} + t\,\vec{v}
que, embora descreva o mesmo plano, é uma equação vetorial diferente.
Além disso, mesmo fixando um ponto \vec{r_0}, podemos escolher infinitas combinações lineares de \vec{u} e \vec{v} que ainda spaneiam o plano. Por exemplo, tomando
\vec{u}'=\vec{u}+\vec{v} e \vec{v}'=2\vec{u}-\vec{v}, obtemos
\vec{r} = \vec{r_0} + s\,\vec{u}' + t\,\vec{v}'
que é outra equação vetorial distinta para o mesmo plano.

Passo 4

Como há liberdade infinita para escolher o ponto base e os vetores diretores (contanto que sejam independentes), concluímos que existem infinitas equações vetoriais distintas que representam o mesmo plano.

Resposta

Verdadeiro

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