Determine a equação geral do plano que contém a reta r: X=(-1,4,13)+\lambda(-2,1,4) e o ponto P=(-1,-2,3)

Passo 1

Temos a reta
r:\;X = (-1,4,13) + \lambda\,(-2,1,4)
e o ponto P = (-1,-2,3). Queremos a equação geral do plano que contém r e P. Para isso, precisamos de dois vetores diretores no plano e, em seguida, calcular o vetor normal por produto vetorial.

Passo 2

Escolhemos o ponto A = (-1,4,13) na reta e o vetor diretor da reta
v = (-2,1,4).
O vetor que liga A a P é
\overrightarrow{AP} = P - A = (-1 - (-1),\,-2 - 4,\;3 - 13) = (0,-6,-10).

Passo 3

O vetor normal do plano é
n = v \times \overrightarrow{AP} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ -2 & 1 & 4 \\\\ 0 & -6 & -10 \end{vmatrix} = \bigl(1\cdot(-10) - 4\cdot(-6),\;-\bigl(-2\cdot(-10)-4\cdot0\bigr),\;-2\cdot(-6)-1\cdot0\bigr) n = ( -10 + 24,\,-(20 - 0),\,12 ) = (14,-20,12).
Podemos simplificar dividindo por 2:
n = (7,-10,6).

Passo 4

A equação do plano passa por A e tem normal n, logo
n\cdot\bigl((x,y,z)-A\bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad 7(x+1)-10(y-4)+6(z-13)=0.
Expandindo:
7x+7 -10y+40 +6z-78 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 7x -10y +6z -31 = 0.

Resposta

A equação geral do plano é
\boxed{7x - 10y + 6z - 31 = 0}.

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