O plano \pi: 2 x-y+3 z-4=0 e a reta r:\left\{\begin{array}{c}x=-1+2 t \\\ y=5+3 t \\\ z=3-t\end{array}\right., com t \in \mathbb{R}_{1} intersectam-se no ponto P. Os pontos Q(-3,1,2) e R(x, y, 0) são tais que o paralelogramo gerado pelos vetores \overrightarrow{P Q} e \overrightarrow{P R} possui área igual a 10 u.a. O lugar geométrico formado pelos pares (x, y) \in \mathbb{R}^{2} é uma:
(A) elipse de centro C(3,0), excentricidade \frac{\sqrt{5}}{5} e eixo maior paralelo ao eixo y.
(B) hipérbole de excentricidade \frac{3 \sqrt{5}}{5} e eixo real paralelo ao eixo x :-
(C) elipse de centro C(-3,0), excentricidade \frac{\sqrt{5}}{5} e eixo maior paralelo ao eixo x.
(D) hipérbole de excentricidade \frac{3}{2} e eixo maior paralelo ao eixo x.
(E) elipse de centro C(-3,0), excentricidade \frac{\sqrt{5}}{5} e eixo maior paralelo ao eixo y.

Passo 1

O enunciado pede o ponto P\) de interseção entre o plano \[\pi:2x - y + 3z - 4 = 0
e a reta
r:\begin{cases} x = -1 + 2t,\\\ y = 5 + 3t,\\\ z = 3 - t, \end{cases}\quad t\in\mathbb{R},
e depois o lugar geométrico dos pontos R(x,y,0)\] tais que o paralelogramo formado por \(\overrightarrow{PQ} e \overrightarrow{PR} tem área 10, onde Q(-3,1,2). Vamos usar produto vetorial para área e depois identificar a cônica resultante.

Passo 2

Substituímos x=-1+2t, y=5+3t, z=3-t em \pi:
2(-1+2t)\;-\;(5+3t)\;+\;3(3-t)\;-\;4=0
-2 + 4t -5 -3t +9 -3t -4 =0
-2t -2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad t = -1.
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P = (-1+2(-1),\;5+3(-1),\;3-(-1)) = (-3,2,4).

Passo 3

Calculamos os vetores
\overrightarrow{PQ} = Q - P = (-3,1,2) - (-3,2,4) = (0,-1,-2),
\overrightarrow{PR} = R - P = (x,y,0) - (-3,2,4) = (x+3,\;y-2,\;-4).

Passo 4

O módulo do produto vetorial dá a área do paralelogramo:
\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR} = \bigl(2y,\,-2x-6,\;x+3\bigr).
A condição \bigl\|\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}\bigr\|=10 vira
(2y)^2 + (-2x-6)^2 + (x+3)^2 = 100.

Passo 5

Expandindo e simplificando:
4y^2 + (4x^2+24x+36) + (x^2+6x+9) =100
5x^2+30x+4y^2 -55 =0
5(x^2+6x)+4y^2 =55
5\bigl((x+3)^2-9\bigr)+4y^2 =55
5(x+3)^2 +4y^2 =100 \quad\Longrightarrow\quad \frac{(x+3)^2}{20} + \frac{y^2}{25} =1.

Passo 6

Essa é a equação de uma elipse centrada em C(-3,0). Como 25>20, o semi-eixo maior vale a=5 ao longo do eixo y e o menor vale b=\sqrt{20}=2\sqrt5 ao longo de x. A excentricidade é
e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{20}{25}} = \sqrt{\frac{5}{25}} = \frac{\sqrt5}{5}.

Resposta

(E) elipse de centro C(-3,0), excentricidade \tfrac{\sqrt5}{5} e eixo maior paralelo ao eixo y.

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