O plano \pi: 2 x-y+3 z-4=0 e a reta r:\left\{\begin{array}{c}x=-1+2 t \\\ y=5+3 t \\\ z=3-t\end{array}\right., com t \in \mathbb{R}_{1} intersectam-se no ponto P. Os pontos Q(-3,1,2) e R(x, y, 0) são tais que o paralelogramo gerado pelos vetores \overrightarrow{P Q} e \overrightarrow{P R} possui área igual a 10 u.a. O lugar geométrico formado pelos pares (x, y) \in \mathbb{R}^{2} é uma:
(A) elipse de centro C(3,0), excentricidade \frac{\sqrt{5}}{5} e eixo maior paralelo ao eixo y.
(B) hipérbole de excentricidade \frac{3 \sqrt{5}}{5} e eixo real paralelo ao eixo x :-
(C) elipse de centro C(-3,0), excentricidade \frac{\sqrt{5}}{5} e eixo maior paralelo ao eixo x.
(D) hipérbole de excentricidade \frac{3}{2} e eixo maior paralelo ao eixo x.
(E) elipse de centro C(-3,0), excentricidade \frac{\sqrt{5}}{5} e eixo maior paralelo ao eixo y.
Passo 1
O enunciado pede o ponto P\) de interseção entre o plano
\[\pi:2x - y + 3z - 4 = 0
e a reta
r:\begin{cases} x = -1 + 2t,\\\ y = 5 + 3t,\\\ z = 3 - t, \end{cases}\quad t\in\mathbb{R},
e depois o lugar geométrico dos pontos R(x,y,0)\] tais que o paralelogramo formado por \(\overrightarrow{PQ} e \overrightarrow{PR} tem área 10, onde Q(-3,1,2). Vamos usar produto vetorial para área e depois identificar a cônica resultante.
Essa é a equação de uma elipse centrada em C(-3,0). Como 25>20, o semi-eixo maior vale a=5 ao longo do eixo y e o menor vale b=\sqrt{20}=2\sqrt5 ao longo de x. A excentricidade é