Sejam P_{1}(x)=x^{3}+3 x^{2}-6 x+a e P_{2}(x)=x^{3}-3 x^{2}-x+b polinômios com a, b \in \mathbb{R} e raízes, respectivamente, em progressão geométrica e progressão aritmética. Assinale o intervalo que apresenta o valor máximo admitido pela função a seguir:
f(x)=|a| \operatorname{sen}\left(4 x-\frac{7 \pi}{6}\right)+|b| \cos \left(4 x-\frac{7 \pi}{6}\right)
(A) [8,9]
(B) [7,8]
(C) [6,7]
(D) [5,6]

Passo 1

O enunciado dá dois polinômios
P_{1}(x)=x^{3}+3x^{2}-6x+a
cuja raízes estão em progressão geométrica, e
P_{2}(x)=x^{3}-3x^{2}-x+b
cuja raízes estão em progressão aritmética. Em seguida pede o intervalo que contém o valor máximo de
f(x)=|a|\operatorname{sen}\!\Bigl(4x-\frac{7\pi}{6}\Bigr)+|b|\cos\!\Bigl(4x-\frac{7\pi}{6}\Bigr).
Para resolver isso vamos usar as fórmulas de Viète para encontrar a e b, e depois a fórmula da amplitude de uma combinação A\operatorname{sen}\theta+B\cos\theta.

Passo 2

Sejam as raízes de P_{1} iguais a \frac r q,\;r,\;rq em PG de razão q\neq0. Pelas fórmulas de Viète:
\frac r q + r + rq = -3,
\frac{r^{2}}{q} + r^{2} + r^{2}q = -6,
\frac r q \cdot r \cdot rq = r^{3} = -a.
Da primeira equação extraímos
r\Bigl(\tfrac1q + 1 + q\Bigr) = -3 \quad\Longrightarrow\quad \tfrac1q + 1 + q = -\frac{3}{r}.
Substituindo na segunda:
r^{2}\Bigl(\tfrac1q + 1 + q\Bigr) = -6 \quad\Longrightarrow\quad r^{2}\Bigl(-\tfrac{3}{r}\Bigr) = -6 \quad\Longrightarrow\quad -3r = -6 \;\Rightarrow\;r=2.
Logo \tfrac1q+1+q=-\tfrac32, o que leva a
q+\frac1q=-\frac52 \quad\Longrightarrow\quad 2q^{2}+5q+2=0,
que dá q=-\tfrac12 ou q=-2. Em ambos os casos as raízes são -4,\,2,\,-1 e
r^{3}=2^{3}=8=-\,a \;\Longrightarrow\; a=-8 \;\Rightarrow\; |a|=8.

Passo 3

Sejam as raízes de P_{2} iguais a 1-d,\;1,\;1+d em PA de razão d. Pelas fórmulas de Viète:
(1-d)+1+(1+d)=3 \quad\Longrightarrow\quad 3\cdot1=3\quad\text{(ok)},
(1-d)\cdot1 + (1-d)(1+d) + 1\cdot(1+d)= -1,
(1-d)(1+d)=1-d^{2},
logo a soma par a par é
(1-d)+(1-d^{2})+(1+d)=3 - d^{2} = -1 \quad\Longrightarrow\quad d^{2}=4.
Assim d=\pm2 e as raízes são -1,\,1,\,3. O produto é
(1-d)\cdot1\cdot(1+d)=1-d^{2}=1-4=-3 = -\,b \;\Longrightarrow\; b=3 \;\Rightarrow\; |b|=3.

Passo 4

Agora
f(x)=8\operatorname{sen}\theta + 3\cos\theta, \quad \theta=4x-\frac{7\pi}{6}.
A amplitude máxima de A\operatorname{sen}\theta+B\cos\theta é
\sqrt{A^{2}+B^{2}} =\sqrt{8^{2}+3^{2}} =\sqrt{64+9} =\sqrt{73}.

Passo 5

Numericamente \sqrt{73}\approx8,54, que está no intervalo [8,9].

Resposta

(A) [8,9]

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