Um triângulo de vértices A(0,0), B(2,3) e C(5,1) é rotacionado em 60^{\circ} no sentido anti-horário em torno do ponto de A, de forma que os pontos B e C tornem-se B^{\prime} e C^{\prime}, respectivamente. Determine a soma das coordenadas de B^{\prime} e C^{\prime} e assinale a opção correta.
(A) \frac{3-11 \sqrt{2}}{2}
(B) \frac{3+11 \sqrt{3}}{2}
(C) \frac{11-3 \sqrt{3}}{2}
(D) \frac{11+3 \sqrt{3}}{2}

Passo 1

O enunciado dá um triângulo com vértices A=(0,0), B=(2,3) e C=(5,1) e pede para rotacionar esse triângulo em 60^\circ no sentido anti-horário em torno de A. Como A está na origem, basta usar a matriz de rotação de ângulo \theta=60^\circ:
R = \begin{pmatrix} \cos60^\circ & -\sin60^\circ \\[6pt] \sin60^\circ & \cos60^\circ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac12 & -\frac{\sqrt3}{2} \\[4pt] \frac{\sqrt3}{2} & \frac12 \end{pmatrix}.]

Passo 2

Para encontrar B' = R\cdot B, escrevemos B=(2,3) e calculamos
x_{B'} = 2\cdot\frac12 \;-\; 3\cdot\frac{\sqrt3}{2} = 1 \;-\;\frac{3\sqrt3}{2} = \frac{2-3\sqrt3}{2},
y_{B'} = 2\cdot\frac{\sqrt3}{2} \;+\; 3\cdot\frac12 = \sqrt3 \;+\;\frac32 = \frac{2\sqrt3+3}{2}.

Passo 3

De modo análogo, para C' = R\cdot C com C=(5,1), temos
x_{C'} = 5\cdot\frac12 \;-\; 1\cdot\frac{\sqrt3}{2} = \frac{5-\sqrt3}{2},
y_{C'} = 5\cdot\frac{\sqrt3}{2} \;+\; 1\cdot\frac12 = \frac{5\sqrt3+1}{2}.

Passo 4

Agora somamos todas as coordenadas:
x_{B'} + x_{C'} = \frac{2-3\sqrt3}{2} + \frac{5-\sqrt3}{2} = \frac{7 - 4\sqrt3}{2},
y_{B'} + y_{C'} = \frac{2\sqrt3+3}{2} + \frac{5\sqrt3+1}{2} = \frac{7\sqrt3 +4}{2}.
A soma final de todas as coordenadas é
(x_{B'}+x_{C'}) + (y_{B'}+y_{C'}) = \frac{7 - 4\sqrt3 + 7\sqrt3 + 4}{2} = \frac{11 + 3\sqrt3}{2}.

Resposta

(D) \displaystyle \frac{11+3\sqrt3}{2}

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