O plano sofre uma rotação de um ângulo . A seguir experimenta uma dilatação de fator 4 na direção , posteriormente, uma reflexão em torno da reta . Qual a matriz que representa a única transformação linear e que tem o mesmo efeito do conjunto das três transformações citadas?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de transformações lineares no plano. A gente tem três transformações: uma rotação de um ângulo , uma dilatação (que é um tipo de escala) com fator 4 na direção do eixo , e uma reflexão em torno da reta . Nosso objetivo é descobrir qual é a única matriz que representa a combinação dessas três transformações. Para isso, vamos precisar saber como representar cada transformação com uma matriz e então multiplicar essas matrizes na ordem certa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como representar cada uma dessas transformações com matrizes.
Rotação de um ângulo : A matriz de rotação no plano é dada por:
Dilatação na direção com fator 4: A dilatação (ou escala) na direção altera apenas a componente x das coordenadas, multiplicando-a por 4. A matriz de dilatação é:
Reflexão em torno da reta y = x: A reflexão em torno da reta y = x troca as coordenadas x e y. A matriz correspondente é:
F = 0 & 1 1 & 0
Passo 3
Agora que temos as matrizes individuais, precisamos aplicar essas transformações na ordem dada: primeiro rotação, depois dilatação, e por último reflexão. Para isso, vamos multiplicar as matrizes na ordem inversa, ou seja, F cdot D cdot R(theta). A multiplicação de matrizes representa a composição das transformações.
Passo 4
Vamos começar multiplicando a matriz de dilatação D pela matriz de rotação R(theta):