O plano sofre uma rotação de um ângulo theta. A seguir experimenta uma dilatação de fator 4 na direção Ox e, posteriormente, uma reflexão em torno da reta y=x. Qual a matriz que representa a única transformação linear e que tem o mesmo efeito do conjunto das três transformações citadas?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformações lineares no plano. A gente tem três transformações: uma rotação de um ângulo theta, uma dilatação (que é um tipo de escala) com fator 4 na direção do eixo Ox, e uma reflexão em torno da reta y = x. Nosso objetivo é descobrir qual é a única matriz que representa a combinação dessas três transformações. Para isso, vamos precisar saber como representar cada transformação com uma matriz e então multiplicar essas matrizes na ordem certa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como representar cada uma dessas transformações com matrizes.
  1. Rotação de um ângulo theta: A matriz de rotação no plano é dada por:
R(theta) = costheta & -sintheta sintheta & costheta
  1. Dilatação na direção Ox com fator 4: A dilatação (ou escala) na direção Ox altera apenas a componente x das coordenadas, multiplicando-a por 4. A matriz de dilatação é:
D = 4 & 0 0 & 1
  1. Reflexão em torno da reta y = x: A reflexão em torno da reta y = x troca as coordenadas x e y. A matriz correspondente é:
F = 0 & 1 1 & 0

Passo 3

Agora que temos as matrizes individuais, precisamos aplicar essas transformações na ordem dada: primeiro rotação, depois dilatação, e por último reflexão. Para isso, vamos multiplicar as matrizes na ordem inversa, ou seja, F cdot D cdot R(theta). A multiplicação de matrizes representa a composição das transformações.

Passo 4

Vamos começar multiplicando a matriz de dilatação D pela matriz de rotação R(theta):
D cdot R(theta) = 4 & 0 0 & 1 cdot costheta & -sintheta sintheta & costheta = 4costheta & -4sintheta sintheta & costheta

Passo 5

Agora, multiplicamos o resultado pela matriz de reflexão F:
F cdot (D cdot R(theta)) = 0 & 1 1 & 0 cdot 4costheta & -4sintheta sintheta & costheta = sintheta & costheta 4costheta & -4sintheta

Resposta

A matriz que representa a combinação das três transformações é:
sintheta & costheta 4costheta & -4sintheta

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