Sejam
. Definimos:
Prove que:
Passo 1
O enunciado está na reunião de teoria de conjuntos: temos um universo fixo
e um subconjunto
. A operação
é o complemento de
em
, isto é
Queremos mostrar que o complemento do complemento retorna
, ou seja
Para isso vamos usar o método clássico de provar igualdade de conjuntos, mostrando duas inclusões:
-
. -
.
Passo 2
Provar
. Seja
. Por definição disso, temos
-
. -
.
Massignifica exatamente que não vale que e . Como já sabemos , concluímos que . Portanto
ou seja
Passo 3
Provar
. Seja
. Como
, temos
. Além disso,
implica que
(pois o complemento contém quem não está em
). Logo
e
mostram que
Assim
Resposta
Pelo passo 2 e pelo passo 3, obtém-se