Sejam A, B subset Omega. Definimos:
COmega A=x in Omega: x notin A ; A-B=a in A: a notin B
Prove que:
COmega(COmega A)=A

Passo 1

O enunciado está na reunião de teoria de conjuntos: temos um universo fixo Omega e um subconjunto AsubsetOmega. A operação COmegaA é o complemento de A em Omega, isto é
COmegaA = ,xinOmega : xnotin A
Queremos mostrar que o complemento do complemento retorna A, ou seja
COmegal(COmegaAr) = A
Para isso vamos usar o método clássico de provar igualdade de conjuntos, mostrando duas inclusões:
  1. COmega(COmegaA)subseteq A.
  2. Asubseteq COmega(COmegaA).

Passo 2

Provar COmega(COmegaA)subseteq A. Seja xin COmega(COmegaA). Por definição disso, temos
  1. xinOmega.
  2. xnotin COmegaA.
    Mas xnotin COmegaA significa exatamente que não vale que l(xinOmega e xnotin Ar). Como já sabemos xinOmega, concluímos que xin A. Portanto
xin COmega(COmegaA)implies xin A,
ou seja
COmega(COmegaA)subseteq A

Passo 3

Provar Asubseteq COmega(COmegaA). Seja xin A. Como AsubseteqOmega, temos xinOmega. Além disso, xin A implica que xnotin COmegaA (pois o complemento contém quem não está em A). Logo xinOmega e xnotin COmegaA mostram que
xin COmega(COmegaA)
Assim
Asubseteq COmega(COmegaA)

Resposta

Pelo passo 2 e pelo passo 3, obtém-se
COmega(COmegaA)=A

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