Sejam A, B subset Omega. Definimos:
COmega A=x in Omega: x notin A ; A-B=a in A: a notin B
Prove que:
A cap COmega A=varnothing ; A cup COmega A=Omega

Passo 1

O enunciado define para AsubsetOmega o complemento relativo
COmegaA=xinOmega:xnotin A
e pede para mostrar duas propriedades básicas de complemento em teoria de conjuntos:
  1. Acap COmegaA=varnothing.
  2. Acup COmegaA=Omega.

Passo 2

Prova de Acap COmegaA=varnothing.
Suponha, por contradição, que exista algum x tal que
xin Acap COmegaA
Isso significa que simultaneamente
xin A e xin COmegaA
Mas por definição de complemento xin COmegaA implica xnotin A.
Logo chegamos a
xin A e xnotin A,
que é impossível. Portanto não existe tal x e
Acap COmegaA=varnothing

Passo 3

Prova de Acup COmegaA=Omega.
Para mostrar igualdade de conjuntos, fazemos duas inclusões:
  1. Acup COmegaAsubsetOmega.
    Se xin Acup COmegaA, então xin A ou xin COmegaA. Mas ambas as partes são subconjuntos de Omega por definição, logo xinOmega.
  2. Omegasubset Acup COmegaA.
    Seja xinOmega. Se xin A, então xin Acup COmegaA. Se xnotin A, pela definição de complemento relativa segue xin COmegaA, e portanto xin Acup COmegaA.
Como ambas inclusões valem, concluímos
Acup COmegaA=Omega

Resposta

Acap COmegaA=varnothing
Acup COmegaA=Omega

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