Sejam
. Definimos:
Prove que:
Passo 1
O enunciado define para
o complemento relativo
e pede para mostrar duas propriedades básicas de complemento em teoria de conjuntos:
-
. -
.
Passo 2
Prova de
.
Suponha, por contradição, que exista algum tal que
Suponha, por contradição, que exista algum
Isso significa que simultaneamente
Mas por definição de complemento
implica
.
Logo chegamos a
Logo chegamos a
que é impossível. Portanto não existe tal
e
Passo 3
Prova de
.
Para mostrar igualdade de conjuntos, fazemos duas inclusões:
Para mostrar igualdade de conjuntos, fazemos duas inclusões:
-
.
Se, então ou . Mas ambas as partes são subconjuntos de por definição, logo . -
.
Seja. Se , então . Se , pela definição de complemento relativa segue , e portanto .
Como ambas inclusões valem, concluímos