No plano se tem quatro pontos distintos
e
e uma reta
que não passa por nenhum deles. Sabe-se que os segmentos
e
cortam a reta e que
não a corta. O que pode ser dito sobre o segmento
?
Passo 1
Enunciado e dados dados do problema, colocados de forma clara:\n
- Temos quatro pontos distintos
no plano.\n - Temos uma reta
que não passa por nenhum desses pontos (ou seja, estão todos fora de ).\n - Sabe-se que o segmento
corta a reta .\n - Sabe-se que o segmento
corta a reta .\n - Sabe-se que o segmento
não corta a reta .\n - A pergunta: o que pode ser dito sobre o segmento
?\n
Passo 2
Entendendo o que significa “um segmento corta uma reta” em termos de posições dos pontos:\n
- A reta
divide o plano em dois lados (dois semi-planos abertos), já que nenhum dos pontos está sobre .\n - Um segmento entre dois pontos corta a reta
exatamente quando os dois extremos do segmento estão em lados diferentes de .\n
Explicação intuitiva: se os extremos estão em lados opostos, a reta que liga os dois precisa atravessar a linha que separa os lados (a); se os extremos estão no mesmo lado, o segmento inteiro fica naquele lado e não atravessa .\n
Passo 3
Aplicando essa ideia ao segmento
:\n
- Como
corta , concluímos que e estão em lados opostos de .\n
Em símbolos: se chamarmos de “lado +” e “lado –” os dois semi-planos definidos por, então ou lado e lado , ou vice‑versa.\n
Passo 4
Aplicando ao segmento
:\n
- Como
corta , os pontos e também estão em lados opostos de .\n
Passo 5
Aplicando ao segmento
que não corta
:\n
- Como
não corta , os pontos e estão no mesmo lado de .\n
Passo 6
Juntando as informações para relacionar
e
:\n
- De
não cortar temos e no mesmo lado.\n- De cortar temos no lado oposto de . Como está no mesmo lado que , segue que está no lado oposto de .\n- De cortar temos no lado oposto de .\n- Portanto e estão ambos no mesmo lado (o lado oposto a ).\n
Passo 7
Conclusão sobre
:\n
- Como
e estão no mesmo lado da reta , o segmento fica inteiramente nesse lado e, portanto, não corta a reta .\n
(Observação: isso usa diretamente a correspondência “segmento corta a reta ⇔ extremos em lados distintos”, e o fato dado de quenão passa por nenhum dos pontos.)\n
Resposta
O segmento
não corta a reta
.