No plano se tem quatro pontos distintos A, B, C e D e uma reta m que não passa por nenhum deles. Sabe-se que os segmentos A B e C D cortam a reta e que A C não a corta. O que pode ser dito sobre o segmento B D ?

Passo 1

Enunciado e dados dados do problema, colocados de forma clara:\n
  • Temos quatro pontos distintos A,\;B,\;C,\;D no plano.\n
  • Temos uma reta m que não passa por nenhum desses pontos (ou seja, A,B,C,D estão todos fora de m).\n
  • Sabe-se que o segmento AB corta a reta m.\n
  • Sabe-se que o segmento CD corta a reta m.\n
  • Sabe-se que o segmento AC não corta a reta m.\n
  • A pergunta: o que pode ser dito sobre o segmento BD ?\n

Passo 2

Entendendo o que significa “um segmento corta uma reta” em termos de posições dos pontos:\n
  • A reta m divide o plano em dois lados (dois semi-planos abertos), já que nenhum dos pontos está sobre m.\n
  • Um segmento entre dois pontos corta a reta m exatamente quando os dois extremos do segmento estão em lados diferentes de m.\n
    Explicação intuitiva: se os extremos estão em lados opostos, a reta que liga os dois precisa atravessar a linha que separa os lados (a m); se os extremos estão no mesmo lado, o segmento inteiro fica naquele lado e não atravessa m.\n

Passo 3

Aplicando essa ideia ao segmento AB:\n
  • Como AB corta m, concluímos que A e B estão em lados opostos de m.\n
    Em símbolos: se chamarmos de “lado +” e “lado –” os dois semi-planos definidos por m, então ou A\in lado + e B\in lado -, ou vice‑versa.\n

Passo 4

Aplicando ao segmento CD:\n
  • Como CD corta m, os pontos C e D também estão em lados opostos de m.\n

Passo 5

Aplicando ao segmento AC que não corta m:\n
  • Como AC não corta m, os pontos A e C estão no mesmo lado de m.\n

Passo 6

Juntando as informações para relacionar B e D:\n
  • De AC não cortar m temos A e C no mesmo lado.\n- De CD cortar m temos D no lado oposto de C. Como C está no mesmo lado que A, segue que D está no lado oposto de A.\n- De AB cortar m temos B no lado oposto de A.\n- Portanto B e D estão ambos no mesmo lado (o lado oposto a A).\n

Passo 7

Conclusão sobre BD:\n
  • Como B e D estão no mesmo lado da reta m, o segmento BD fica inteiramente nesse lado e, portanto, não corta a reta m.\n
    (Observação: isso usa diretamente a correspondência “segmento corta a reta ⇔ extremos em lados distintos”, e o fato dado de que m não passa por nenhum dos pontos.)\n

Resposta

O segmento BD não corta a reta m.

Exercícios relacionados