(a) Mostre que a interseção de dois conjuntos convexos é um conjunto convexo.
(b) Conclua que o interior de um ângulo é convexo.
(b) Conclua que o interior de um ângulo é convexo.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Mostrar que a interseção de dois conjuntos convexos é um conjunto convexo.
- (b) Concluir, a partir de (a), que o interior de um ângulo é convexo.
Informações/hipóteses dadas (explícitas ou implícitas):
- Temos dois conjuntos quaisquer
e (no mesmo espaço vetorial, tipicamente ) que são convexos. - Por “interior de um ângulo” entende-se o conjunto de pontos do plano que ficam estritamente entre as duas semi‑retas que formam o ângulo (ou seja, a região aberta em torno do vértice limitada pelas duas retas que contêm as semi‑retas).
- Não há outras informações faltando: posso usar a definição de conjunto convexo e propriedades básicas de semi‑planos/retas.
Passo 2
Definição e explicação do que significa “conjunto convexo” (aula curta e prática).
- Um conjunto
é convexo se, para quaisquer pontos e para qualquer número com , o ponto obtido pela combinação convexa
também pertence a
.
- Intuição: se você pegar dois pontos dentro de
e traçar o segmento de reta entre eles, todo ponto desse segmento fica dentro de . - Exemplo simples: um disco fechado, um quadrado, um semiplano são conjuntos convexos. Um “U” ou um anel não são convexos porque o segmento entre dois pontos pode sair do conjunto.
Passo 3
Prova detalhada de (a): a interseção de dois conjuntos convexos é convexa.
- Suponha que
e sejam conjuntos convexos em . - Tome quaisquer pontos
. Isso significa que e , e também e . - Seja
qualquer número em . - Como
é convexo e , temos
- Como
é convexo e , temos
- Como o mesmo ponto pertence tanto a
quanto a , ele pertence à interseção:
- Concluímos que para quaisquer
e qualquer a combinação convexa fica em . Portanto é convexo. - Observação didática: a prova é curta porque a propriedade de convexe é verificada ponto a ponto, e estar em ambas as partes garante estar na interseção. Pense nisso como: “o segmento entre dois pontos da interseção está em cada conjunto; logo está na interseção”.
Passo 4
Preparação para (b): modelar o interior de um ângulo como interseção de dois semiplanos abertos.
- Considere um ângulo em
com vértice em e formados por duas semi‑retas que saem de . As retas que contêm essas semi‑retas chamaremos e . - Cada reta
divide o plano em dois semiplanos. Se escolhermos, para cada reta, o semiplano que contém o interior do ângulo, obtemos dois semiplanos abertos (ou seja, semiplanos estritamente do lado interno, com desigualdade “>” em vez de “≥”). - Formalmente, para
existe um vetor normal (não nulo) tal que o semiplano interior correspondente pode ser escrito como
onde
é o produto escalar e escolhemos
apontando para dentro do ângulo. O interior do ângulo é então
.
- Observação: a escolha dos vetores
é feita de modo que ambos apontem para a mesma região (aquela que chamamos de interior do ângulo); assim a interseção dos dois semiplanos é exatamente o “fatia” do plano entre as duas retas, sem incluir as bordas.
Passo 5
Mostrar que um semiplano (aberto) é convexo — aula prática e cálculo.
- Seja um semiplano aberto
definido como acima, com não nulo e um ponto (por exemplo, o vértice). - Tome quaisquer
. Então e . - Seja
. Considere o ponto convexo . Calcule o produto escalar com :
- Cada termo
e é estritamente positivo, e uma combinação convexa de números positivos é positiva. Logo
e portanto
.
- Conclusão:
é convexo. - Comentário didático: a prova usa linearidade do produto escalar; é um truque padrão para mostrar convexidade de semiplanos.
Passo 6
Conclusão de (b) usando (a) e o que foi mostrado sobre semiplanos.
- Pelo Passo 4 escrevemos o interior do ângulo como interseção de dois semiplanos abertos:
- Pelo Passo 5 cada
é convexo. - Pelo resultado geral provado em (a), a interseção de dois conjuntos convexos é convexa; aplicando a
obtemos que é convexo. - Intuição final: a “fatia” do plano entre as duas retas é um conjunto tal que, se você pegar quaisquer dois pontos dentro dela, o segmento entre eles fica inteiramente dentro — por isso é convexo.
Resposta
(a) Se
e
são conjuntos convexos então
é convexo.
(b) O interior de um ângulo é a interseção de dois semiplanos abertos (cada semiplano é convexo) e, portanto, o interior do ângulo é convexo.
(b) O interior de um ângulo é a interseção de dois semiplanos abertos (cada semiplano é convexo) e, portanto, o interior do ângulo é convexo.