(a) Mostre que a interseção de dois conjuntos convexos é um conjunto convexo.
(b) Conclua que o interior de um ângulo é convexo.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) Mostrar que a interseção de dois conjuntos convexos é um conjunto convexo.
  2. (b) Concluir, a partir de (a), que o interior de um ângulo é convexo.
Informações/hipóteses dadas (explícitas ou implícitas):
  • Temos dois conjuntos quaisquer A e B (no mesmo espaço vetorial, tipicamente \mathbb{R}^n) que são convexos.
  • Por “interior de um ângulo” entende-se o conjunto de pontos do plano que ficam estritamente entre as duas semi‑retas que formam o ângulo (ou seja, a região aberta em torno do vértice limitada pelas duas retas que contêm as semi‑retas).
  • Não há outras informações faltando: posso usar a definição de conjunto convexo e propriedades básicas de semi‑planos/retas.

Passo 2

Definição e explicação do que significa “conjunto convexo” (aula curta e prática).
  • Um conjunto C\subseteq\mathbb{R}^n é convexo se, para quaisquer pontos x,y\in C e para qualquer número \lambda com 0\le \lambda\le 1, o ponto obtido pela combinação convexa
(1-\lambda)x+\lambda y
também pertence a C.
  • Intuição: se você pegar dois pontos dentro de C e traçar o segmento de reta entre eles, todo ponto desse segmento fica dentro de C.
  • Exemplo simples: um disco fechado, um quadrado, um semiplano são conjuntos convexos. Um “U” ou um anel não são convexos porque o segmento entre dois pontos pode sair do conjunto.

Passo 3

Prova detalhada de (a): a interseção de dois conjuntos convexos é convexa.
  • Suponha que A e B sejam conjuntos convexos em \mathbb{R}^n.
  • Tome quaisquer pontos x,y\in A\cap B. Isso significa que x\in A e x\in B, e também y\in A e y\in B.
  • Seja \lambda qualquer número em [0,1].
  • Como A é convexo e x,y\in A, temos
(1-\lambda)x+\lambda y \in A.
  • Como B é convexo e x,y\in B, temos
(1-\lambda)x+\lambda y \in B.
  • Como o mesmo ponto pertence tanto a A quanto a B, ele pertence à interseção:
(1-\lambda)x+\lambda y \in A\cap B.
  • Concluímos que para quaisquer x,y\in A\cap B e qualquer \lambda\in[0,1] a combinação convexa fica em A\cap B. Portanto A\cap B é convexo.
  • Observação didática: a prova é curta porque a propriedade de convexe é verificada ponto a ponto, e estar em ambas as partes garante estar na interseção. Pense nisso como: “o segmento entre dois pontos da interseção está em cada conjunto; logo está na interseção”.

Passo 4

Preparação para (b): modelar o interior de um ângulo como interseção de dois semiplanos abertos.
  • Considere um ângulo em \mathbb{R}^2 com vértice em v e formados por duas semi‑retas que saem de v. As retas que contêm essas semi‑retas chamaremos r_1 e r_2.
  • Cada reta r_i divide o plano em dois semiplanos. Se escolhermos, para cada reta, o semiplano que contém o interior do ângulo, obtemos dois semiplanos abertos (ou seja, semiplanos estritamente do lado interno, com desigualdade “>” em vez de “≥”).
  • Formalmente, para i=1,2 existe um vetor normal \mathbf{n}_i (não nulo) tal que o semiplano interior correspondente pode ser escrito como
H_i=\{p\in\mathbb{R}^2 \mid \mathbf{n}_i\cdot (p-v)>0\},
onde \mathbf{n}_i\cdot (p-v) é o produto escalar e escolhemos \mathbf{n}_i apontando para dentro do ângulo. O interior do ângulo é então H_1\cap H_2.
  • Observação: a escolha dos vetores \mathbf{n}_i é feita de modo que ambos apontem para a mesma região (aquela que chamamos de interior do ângulo); assim a interseção dos dois semiplanos é exatamente o “fatia” do plano entre as duas retas, sem incluir as bordas.

Passo 5

Mostrar que um semiplano (aberto) é convexo — aula prática e cálculo.
  • Seja um semiplano aberto H=\{p\in\mathbb{R}^2\mid \mathbf{n}\cdot(p-v)>0\} definido como acima, com \mathbf{n} não nulo e v um ponto (por exemplo, o vértice).
  • Tome quaisquer p,q\in H. Então \mathbf{n}\cdot(p-v)>0 e \mathbf{n}\cdot(q-v)>0.
  • Seja \lambda\in[0,1]. Considere o ponto convexo (1-\lambda)p+\lambda q. Calcule o produto escalar com \mathbf{n}:
\mathbf{n}\cdot\big((1-\lambda)p+\lambda q - v\big) = (1-\lambda)\,\mathbf{n}\cdot(p-v) + \lambda\,\mathbf{n}\cdot(q-v).
  • Cada termo \mathbf{n}\cdot(p-v) e \mathbf{n}\cdot(q-v) é estritamente positivo, e uma combinação convexa de números positivos é positiva. Logo
\mathbf{n}\cdot\big((1-\lambda)p+\lambda q - v\big) > 0,
e portanto (1-\lambda)p+\lambda q \in H.
  • Conclusão: H é convexo.
  • Comentário didático: a prova usa linearidade do produto escalar; é um truque padrão para mostrar convexidade de semiplanos.

Passo 6

Conclusão de (b) usando (a) e o que foi mostrado sobre semiplanos.
  • Pelo Passo 4 escrevemos o interior do ângulo como interseção de dois semiplanos abertos:
\text{int(ângulo)} = H_1\cap H_2.â
  • Pelo Passo 5 cada H_i é convexo.
  • Pelo resultado geral provado em (a), a interseção de dois conjuntos convexos é convexa; aplicando a H_1\cap H_2 obtemos que \text{int(ângulo)}â é convexo.
  • Intuição final: a “fatia” do plano entre as duas retas é um conjunto tal que, se você pegar quaisquer dois pontos dentro dela, o segmento entre eles fica inteiramente dentro — por isso é convexo.

Resposta

(a) Se A e B são conjuntos convexos então A\cap B é convexo.
(b) O interior de um ângulo é a interseção de dois semiplanos abertos (cada semiplano é convexo) e, portanto, o interior do ângulo é convexo.

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