Em uma planta de engenharia química, um tipo específico de reator pode falhar por duas razões principais: superaquecimento ( S ) ou falha de um componente mecânico (M). As falhas são mutuamente exclusivas (ou seja, a causa é uma ou outra). A probabilidade de uma falha por superaquecimento é de
e, por componente mecânico, de
. Quando ocorre superaquecimento, há
de chance de liberação de um gás marcador (G). Quando a falha é mecânica, a chance de liberação do mesmo gás é de
. Um sensor acaba de detectar a presença do gás marcador. Qual é a probabilidade de que a falha no reator tenha sido causada por superaquecimento, dado que o gás foi detectado?
Passo 1
O enunciado descreve duas causas de falha mutuamente exclusivas em um reator: superaquecimento
e falha mecânica
. Temos as probabilidades iniciais
,
,
e as probabilidades de liberar o gás marcador condicionais:
e
.
Queremos calcular a probabilidade de que a falha tenha sido por superaquecimento dado que o gás foi detectado, isto é, .
e as probabilidades de liberar o gás marcador
Queremos calcular a probabilidade de que a falha tenha sido por superaquecimento dado que o gás foi detectado, isto é,
Passo 2
Para encontrar
vamos usar o Teorema de Bayes, que diz:
Ainda precisamos do termo
, a probabilidade total de detectar o gás.
Passo 3
Aplicamos a Lei da Probabilidade Total para
:
Substituindo os valores numéricos:
Passo 4
Agora substituímos em Bayes:
Passo 5
Fazendo a divisão:
Em porcentagem, isso equivale a
.
Resposta
A probabilidade de que a falha tenha sido causada por superaquecimento, dado que o gás foi detectado, é
.