• Uma planta farmacêutica produz um antibiótico sensível à contaminação. Para manter alta biomassa sem abrir o sistema, instalaram uma unidade de filtração interna: uma fração c do efluente é purgada para controle de sólidos e o resto passa por um filtro cujo permeado tem diluição parcial das células (ou seja, o filtrado contém uma fração h da concentração do reator). Em relatório operacional consta " h \approx 0,2 (filtrado muito pobre em células) e c \approx 0,1 ", mas testes recentes mostraram episódios curtos onde o filtro perdeu eficiência ( h passou para \approx 0,6 por horas). Parâmetros cinéticos de bancada: \mu_{\max }=0,80 \mathrm{~h}^{-1}, K_{s}=0,50 \mathrm{~g} / \mathrm{L}, rendimento médio experimental Y_{X / S} \approx 0,45 \mathrm{~g} / \mathrm{g}; alimentação com S_{o}=15 \mathrm{~g} / \mathrm{L}, alimentação sem células. Sistema operando com D nominal =0,40 \mathrm{~h}^{-1}.
  • a) Modele o sistema e escreva a expressão de estado estacionário para X incluindo o parâmetro A.
  • b) Usando h=0,2 (situação normal), calcule A, X e estime D_{\text {c }}.

Passo 1

O enunciado descreve um CSTR com filtração interna e perda de biomassa, em que para cada vazão de alimentação D uma fração c do efluente é purgada e a fração remanescente (1-c) passa por um filtro que libera no permeado apenas uma fração h da concentração de células do reator. O conteúdo envolve cinética de Monod e balanços de massa em regime estacionário. Vamos definir o parâmetro global de remoção A e obter a expressão de estado estacionário para a biomassa X.

Passo 2

Aplicando o balanço de massa para biomassa no reator, temos
\frac{dX}{dt} = \mu\,X \;-\; D\bigl[c + (1-c)\,h\bigr]X,
onde
\mu = \mu_{\max}\,\frac{S}{K_{s}+S}
é a taxa de crescimento de Monod. Definimos
A = c + (1-c)\,h
como o parâmetro efetivo de remoção de biomassa (por purga e por permeado).

Passo 3

Em regime estacionário \tfrac{dX}{dt}=0 a condição para biomassa é
\mu = D\,A.
Para o substrato, o balanço estacionário é
0 = D\,(S_{0}-S)\;-\;\frac{\mu\,X}{Y_{X/S}},
sendo S_{0} a concentração de substrato na alimentação e Y_{X/S} o rendimento.

Passo 4

Da igualdade \mu = D\,A e da expressão de Monod,
\mu_{\max}\,\frac{S}{K_{s}+S} = D\,A \quad\Longrightarrow\quad S = \frac{D\,A\,K_{s}}{\mu_{\max}-D\,A}.
Substituindo esse S no balanço de substrato e isolando X resulta
X = \frac{Y_{X/S}}{A}\,\bigl(S_{0} - S\bigr).
Essa é a expressão de estado estacionário de X em função de A.

Passo 5

Para a operação normal com h=0,2 e c=0,1:
A = 0,1 + (1-0,1)\times0,2 = 0,28.
Com D=0,40\:\mathrm{h^{-1}}, calculamos
D\,A = 0,40\times0,28 = 0,112\:\mathrm{h^{-1}},
S = \frac{0,112\times0,50}{0,80 - 0,112} \approx 0,0814\:\mathrm{g/L},
X = \frac{0,45}{0,28}\,(15 - 0,0814) \approx 24\:\mathrm{g/L}.
A taxa de diluição crítica para lavagem (onde D\,A=\mu_{\max}) é
D_{c} = \frac{\mu_{\max}}{A} = \frac{0,80}{0,28} \approx 2,86\:\mathrm{h^{-1}}.

Resposta

A = 0,28, X \approx 24\:\mathrm{g/L}, D_{c} \approx 2,86\:\mathrm{h^{-1}}

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