A Transformada de Fourier de uma convolução de duas funções absolutamente integráveis é igual:
(A) à soma ponto a ponto das Transformadas de Fourier de cada função.
(B) ao produto ponto a ponto das Transformadas de Fourier de cada função.
(C) ao produto ponto a ponto de cada função.
(E) as transformadas de Fourier do produto ponto a ponto de cada função.
(A) à soma ponto a ponto das Transformadas de Fourier de cada função.
(B) ao produto ponto a ponto das Transformadas de Fourier de cada função.
(C) ao produto ponto a ponto de cada função.
(E) as transformadas de Fourier do produto ponto a ponto de cada função.
Passo 1
O enunciado pergunta qual é a Transformada de Fourier da convolução de duas funções absolutamente integráveis. As informações dadas e o que se pede:
- Temos duas funções
e que são absolutamente integráveis (isto é, e ). - Pede-se relacionar a Transformada de Fourier de
com as transformadas de e de . - As alternativas possíveis são: soma das transformadas, produto das transformadas, produto das funções, ou transformada do produto ponto a ponto.
Passo 2
Definições importantes (claras e sem pular etapas):
- Definição da convolução entre
e :
Expliquei: aqui
é a variável de integração; para cada
calculamos a integral da multiplicação de
por
.
- Definição da Transformada de Fourier que vou usar (convenção comum, sem fatores de normalização):
Expliquei:
é a frequência angular;
é a função complexa oscilante. Esta definição é a usada na maioria das provas; se sua definição tiver fatores
altera constantes mas não a ideia de produto abaixo (apenas aparecem fatores multiplicativos).
Passo 3
Queremos calcular
. Usamos diretamente as definições, escrevendo a transformada da função convoluída:
Expliquei: substituímos
dentro da integral da transformada.
Passo 4
Agora justificamos a troca da ordem de integração (passo técnico essencial): como
e
são absolutamente integráveis, a função dupla
é integrável em
. Pelo Teorema de Fubini (caso de integrabilidade absoluta) podemos trocar a ordem das integrais. Fazendo isso obtemos:
Expliquei: primeiro tirei
para fora da integral em
porque ela não depende de
; a troca de ordem foi permitida por Fubini.
Passo 5
Faço a mudança de variável interna para simplificar: defina
. Então
e quando
percorre
também
percorre
. Dentro da integral interna temos:
Expliquei: substituí
por
.
Passo 6
Separe o fator que depende de
da integral em
:
Expliquei:
e
pode sair da integral em
porque não depende de
.
Passo 7
Volte essa expressão para a integral externa em
:
Expliquei: depois da separação, a integral em
ficou exatamente com a forma da transformada de
e a integral em
é a transformada de
.
Passo 8
Reconhecemos as transformadas:
Portanto concluímos a propriedade fundamental (usando a convenção escolhida):
Expliquei: isto é, a transformada da convolução é o produto ponto a ponto das transformadas.
Passo 9
Comentário prático e encorajamento: isso significa que, em provas, ao ver uma convolução é muitas vezes mais fácil transformar cada função, multiplicar as transformadas e, se necessário, aplicar a transformada inversa para voltar ao domínio do tempo. Se sua convenção da transformada tiver fatores
ou sinais diferentes, pode aparecer um fator multiplicativo (por exemplo
ou
) dependendo da normalização — mas a relação básica entre convolução e produto permanece: convolução vira produto (até o fator de normalização). Você conseguiu — com calma, esse é um resultado bem comum e muito útil.
Resposta
(B)