A Transformada de Fourier de uma convolução de duas funções absolutamente integráveis é igual:
(A) à soma ponto a ponto das Transformadas de Fourier de cada função.
(B) ao produto ponto a ponto das Transformadas de Fourier de cada função.
(C) ao produto ponto a ponto de cada função.
(E) as transformadas de Fourier do produto ponto a ponto de cada função.

Passo 1

O enunciado pergunta qual é a Transformada de Fourier da convolução de duas funções absolutamente integráveis. As informações dadas e o que se pede:
  • Temos duas funções f e g que são absolutamente integráveis (isto é, \int_{-\infty}^{\infty} |f(t)|\,dt<\infty e \int_{-\infty}^{\infty} |g(t)|\,dt<\infty).
  • Pede-se relacionar a Transformada de Fourier de f*g com as transformadas de f e de g.
  • As alternativas possíveis são: soma das transformadas, produto das transformadas, produto das funções, ou transformada do produto ponto a ponto.

Passo 2

Definições importantes (claras e sem pular etapas):
  • Definição da convolução entre f e g:
(f*g)(t)=\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau.
Expliquei: aqui \tau é a variável de integração; para cada t calculamos a integral da multiplicação de f(\tau) por g(t-\tau).
  • Definição da Transformada de Fourier que vou usar (convenção comum, sem fatores de normalização):
\mathcal{F}\{h\}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} h(t)\,e^{-i\omega t}\,dt.
Expliquei: \omega é a frequência angular; e^{-i\omega t} é a função complexa oscilante. Esta definição é a usada na maioria das provas; se sua definição tiver fatores 2\pi altera constantes mas não a ideia de produto abaixo (apenas aparecem fatores multiplicativos).

Passo 3

Queremos calcular \mathcal{F}\{f*g\}(\omega). Usamos diretamente as definições, escrevendo a transformada da função convoluída:
\mathcal{F}\{f*g\}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} \Bigg(\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau\Bigg)\,e^{-i\omega t}\,dt.
Expliquei: substituímos (f*g)(t) dentro da integral da transformada.

Passo 4

Agora justificamos a troca da ordem de integração (passo técnico essencial): como f e g são absolutamente integráveis, a função dupla (t,\tau)\mapsto |f(\tau)g(t-\tau)| é integrável em \mathbb{R}^2. Pelo Teorema de Fubini (caso de integrabilidade absoluta) podemos trocar a ordem das integrais. Fazendo isso obtemos:
\mathcal{F}\{f*g\}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)\Bigg(\int_{-\infty}^{\infty} g(t-\tau)\,e^{-i\omega t}\,dt\Bigg)\,d\tau.
Expliquei: primeiro tirei f(\tau) para fora da integral em t porque ela não depende de t; a troca de ordem foi permitida por Fubini.

Passo 5

Faço a mudança de variável interna para simplificar: defina u=t-\tau. Então dt=du e quando t percorre (-\infty,\infty) também u percorre (-\infty,\infty). Dentro da integral interna temos:
\int_{-\infty}^{\infty} g(t-\tau)\,e^{-i\omega t}\,dt = \int_{-\infty}^{\infty} g(u)\,e^{-i\omega (u+\tau)}\,du.
Expliquei: substituí t por u+\tau.

Passo 6

Separe o fator que depende de \tau da integral em u:
\int_{-\infty}^{\infty} g(u)\,e^{-i\omega (u+\tau)}\,du = e^{-i\omega \tau}\int_{-\infty}^{\infty} g(u)\,e^{-i\omega u}\,du.
Expliquei: e^{-i\omega (u+\tau)}=e^{-i\omega u}\,e^{-i\omega \tau} e e^{-i\omega \tau} pode sair da integral em u porque não depende de u.

Passo 7

Volte essa expressão para a integral externa em \tau:
\mathcal{F}\{f*g\}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)\,e^{-i\omega \tau}\,d\tau \;\cdot\; \int_{-\infty}^{\infty} g(u)\,e^{-i\omega u}\,du.
Expliquei: depois da separação, a integral em \tau ficou exatamente com a forma da transformada de f e a integral em u é a transformada de g.

Passo 8

Reconhecemos as transformadas:
\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)\,e^{-i\omega \tau}\,d\tau=\mathcal{F}\{f\}(\omega) \qquad\text{e}\qquad \int_{-\infty}^{\infty} g(u)\,e^{-i\omega u}\,du=\mathcal{F}\{g\}(\omega).
Portanto concluímos a propriedade fundamental (usando a convenção escolhida):
\mathcal{F}\{f*g\}(\omega)=\mathcal{F}\{f\}(\omega)\cdot\mathcal{F}\{g\}(\omega).
Expliquei: isto é, a transformada da convolução é o produto ponto a ponto das transformadas.

Passo 9

Comentário prático e encorajamento: isso significa que, em provas, ao ver uma convolução é muitas vezes mais fácil transformar cada função, multiplicar as transformadas e, se necessário, aplicar a transformada inversa para voltar ao domínio do tempo. Se sua convenção da transformada tiver fatores 2\pi ou sinais diferentes, pode aparecer um fator multiplicativo (por exemplo 2\pi ou 1/2\pi) dependendo da normalização — mas a relação básica entre convolução e produto permanece: convolução vira produto (até o fator de normalização). Você conseguiu — com calma, esse é um resultado bem comum e muito útil.

Resposta

(B)

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