Uma planta industrial de embalagens apresenta função de custo total dada por
C(q)=100+20 q
onde q representa o número de lotes produzidos por dia. O termo fixo corresponde a despesas de manutenção das máquinas, enquanto o termo linear reflete o custo proporcional à produção (matéria-prima e energia).
(a) Identifique claramente o custo fixo e o custo variável da firma.
(b) Derive o custo médio e o custo marginal.
(c) Discuta se essa função indica presença de economias de escala.

Passo 1

O enunciado fornece a função de custo total
C(q)=100+20q,
onde q é o número de lotes produzidos por dia. O enunciado pede três coisas:
(a) identificar o custo fixo e o custo variável da firma;
(b) derivar o custo médio e o custo marginal;
(c) discutir se essa função indica presença de economias de escala.
Informações relevantes dadas:
  • A constante 100 é associada a despesas que não variam com q.
  • O termo linear 20q cresce proporcionalmente a q.
  • Pressupõe-se q>0 quando for calcular custo médio (não se pode dividir por zero).

Passo 2

O que é custo fixo e custo variável e como identificar aqui.
Definições rápidas e intuitivas:
  • Custo fixo: parte do custo que não depende da quantidade produzida. Mesmo produzindo q=0 continua existindo.
  • Custo variável: parte do custo que varia com a produção; cresce quando q aumenta.
Aplicando à função dada:
  • A parcela que não depende de q é 100. Logo o custo fixo é 100.
  • A parcela que depende de q é 20q. Logo o custo variável total é 20q.
Exemplo numérico para fixar a ideia: se q=0 (não produz nada), tem-se C(0)=100+20\cdot0=100. Esse 100 é custo que “fica lá” mesmo sem produzir — por isso é fixo.

Passo 3

Derivando o custo médio (também chamado custo por unidade ou custo médio por lote).
Definição: o custo médio AC(q) é o custo total dividido pela quantidade produzida:
AC(q)=\frac{C(q)}{q}.
Substituindo C(q)=100+20q obtemos
AC(q)=\frac{100+20q}{q}=\frac{100}{q}+20.
Interpretação das parcelas:
  • \dfrac{100}{q} representa o custo fixo por lote: à medida que q cresce, esse termo diminui (o custo fixo é “diluído” por mais unidades).
  • 20 é o custo variável por lote (custo variável médio), aqui constante porque o custo variável total é linear.
Exemplos numéricos rápidos para sentir o comportamento:
  • Se q=1: AC(1)=\dfrac{100}{1}+20=120.
  • Se q=5: AC(5)=\dfrac{100}{5}+20=20+20=40.
  • Se q=100: AC(100)=\dfrac{100}{100}+20=1+20=21.
Isso mostra que AC(q) decresce quando q aumenta (a parte \tfrac{100}{q} encolhe).

Passo 4

Derivando o custo marginal e explicando o que é.
Definição: o custo marginal MC(q) é a derivada do custo total em relação à quantidade; interpreta-se como o acréscimo no custo total ao produzir uma unidade adicional:
MC(q)=C'(q).
Calcule a derivada de C(q)=100+20q:
  • A derivada de 100 em relação a q é 0.
  • A derivada de 20q é 20.
Portanto
MC(q)=20.
Interpretação: produzir mais um lote custa sempre 20 adicionais, independentemente do nível de produção. Em termos discretos, C(q+1)-C(q)=20 para todo q.

Passo 5

Análise de economias de escala — definição e aplicação ao caso.
Definição intuitiva: diz-se que há economias de escala quando o custo médio por unidade AC(q) diminui conforme aumenta q. Se AC(q) for constante → retornos constantes; se aumentar → deseconomias de escala.
Verificação matemática:
Temos
AC(q)=\frac{100}{q}+20.
Calcule a derivada de AC(q) para saber se aumenta ou diminui:
AC'(q) = \frac{d}{dq}\!\left(\frac{100}{q}+20\right)=\frac{d}{dq}\!\left(100 q^{-1}\right)+0 = -100 q^{-2} = -\frac{100}{q^{2}}.
Para todo q>0 tem-se AC'(q)<0. Logo AC(q) é estritamente decrescente para q>0.
Conclusão: existe economia de escala em toda a faixa q>0 porque o custo médio diminui quando a produção aumenta. Intuitivamente isso vem do espalhamento do custo fixo 100 sobre mais unidades. Note também que:
\lim_{q\to\infty} AC(q)=20,
ou seja, à medida que a produção cresce muito, o custo médio se aproxima de 20 (o custo variável por unidade). Assim as economias de escala existem, mas são limitadas — o ganho marginal em reduzir AC diminui conforme q cresce (economias de escala decrescentes).
Observação prática (importante para prova): aqui as economias vêm exclusivamente do custo fixo sendo diluído; o custo marginal é constante, não decrescente. Em curto prazo isso é suficiente para AC decrescer; em longo prazo, se todos os custos forem variáveis, o comportamento pode ser diferente.

Passo 6

Resumo pedagógico rápido (como aplicar isto numa prova):
  • Identifique termos constantes na função de custo: são custos fixos.
  • Separe o termo em C(q)= custo fixo + custo variável.
  • Para custo médio: divida C(q) por q e simplifique, sempre cuidar de q>0.
  • Para custo marginal: derive C(q) em relação a q (ou calcule C(q+1)-C(q) em problema discreto).
  • Para economias de escala: verifique o sinal de AC'(q) (se negativo, há economias). Sempre comente interpretação econômica (espalhamento do custo fixo, limite assintótico).

Resposta

(a) Custo fixo: 100. Custo variável total: 20q.
(b) Custo médio: AC(q)=\dfrac{100}{q}+20. Custo marginal: MC(q)=20.
(c) Sim. Há economias de escala para q>0 porque AC'(q)=-\dfrac{100}{q^{2}}<0, isto é, o custo médio decresce quando q aumenta (o custo fixo 100 é diluído), e \lim_{q\to\infty}AC(q)=20.

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