Uma planta industrial de embalagens apresenta função de custo total dada por
onde
representa o número de lotes produzidos por dia. O termo fixo corresponde a despesas de manutenção das máquinas, enquanto o termo linear reflete o custo proporcional à produção (matéria-prima e energia).
(a) Identifique claramente o custo fixo e o custo variável da firma.
(b) Derive o custo médio e o custo marginal.
(c) Discuta se essa função indica presença de economias de escala.
(a) Identifique claramente o custo fixo e o custo variável da firma.
(b) Derive o custo médio e o custo marginal.
(c) Discuta se essa função indica presença de economias de escala.
Passo 1
O enunciado fornece a função de custo total
onde
é o número de lotes produzidos por dia. O enunciado pede três coisas:
(a) identificar o custo fixo e o custo variável da firma;
(b) derivar o custo médio e o custo marginal;
(c) discutir se essa função indica presença de economias de escala.
(a) identificar o custo fixo e o custo variável da firma;
(b) derivar o custo médio e o custo marginal;
(c) discutir se essa função indica presença de economias de escala.
Informações relevantes dadas:
- A constante
é associada a despesas que não variam com . - O termo linear
cresce proporcionalmente a . - Pressupõe-se
quando for calcular custo médio (não se pode dividir por zero).
Passo 2
O que é custo fixo e custo variável e como identificar aqui.
Definições rápidas e intuitivas:
- Custo fixo: parte do custo que não depende da quantidade produzida. Mesmo produzindo
continua existindo. - Custo variável: parte do custo que varia com a produção; cresce quando
aumenta.
Aplicando à função dada:
- A parcela que não depende de
é . Logo o custo fixo é . - A parcela que depende de
é . Logo o custo variável total é .
Exemplo numérico para fixar a ideia: se
(não produz nada), tem-se
. Esse
é custo que “fica lá” mesmo sem produzir — por isso é fixo.
Passo 3
Derivando o custo médio (também chamado custo por unidade ou custo médio por lote).
Definição: o custo médio
é o custo total dividido pela quantidade produzida:
Substituindo
obtemos
Interpretação das parcelas:
-
representa o custo fixo por lote: à medida que cresce, esse termo diminui (o custo fixo é “diluído” por mais unidades). -
é o custo variável por lote (custo variável médio), aqui constante porque o custo variável total é linear.
Exemplos numéricos rápidos para sentir o comportamento:
- Se
: . - Se
: . - Se
: .
Isso mostra que
decresce quando
aumenta (a parte
encolhe).
Passo 4
Derivando o custo marginal e explicando o que é.
Definição: o custo marginal
é a derivada do custo total em relação à quantidade; interpreta-se como o acréscimo no custo total ao produzir uma unidade adicional:
Calcule a derivada de
:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
é .
Portanto
Interpretação: produzir mais um lote custa sempre
adicionais, independentemente do nível de produção. Em termos discretos,
para todo
.
Passo 5
Análise de economias de escala — definição e aplicação ao caso.
Definição intuitiva: diz-se que há economias de escala quando o custo médio por unidade
diminui conforme aumenta
. Se
for constante → retornos constantes; se aumentar → deseconomias de escala.
Verificação matemática:
Temos
Temos
Calcule a derivada de
para saber se aumenta ou diminui:
Para todo
tem-se
. Logo
é estritamente decrescente para
.
Conclusão: existe economia de escala em toda a faixa
porque o custo médio diminui quando a produção aumenta. Intuitivamente isso vem do espalhamento do custo fixo
sobre mais unidades. Note também que:
ou seja, à medida que a produção cresce muito, o custo médio se aproxima de
(o custo variável por unidade). Assim as economias de escala existem, mas são limitadas — o ganho marginal em reduzir
diminui conforme
cresce (economias de escala decrescentes).
Observação prática (importante para prova): aqui as economias vêm exclusivamente do custo fixo sendo diluído; o custo marginal é constante, não decrescente. Em curto prazo isso é suficiente para
decrescer; em longo prazo, se todos os custos forem variáveis, o comportamento pode ser diferente.
Passo 6
Resumo pedagógico rápido (como aplicar isto numa prova):
- Identifique termos constantes na função de custo: são custos fixos.
- Separe o termo em
custo fixo custo variável. - Para custo médio: divida
por e simplifique, sempre cuidar de . - Para custo marginal: derive
em relação a (ou calcule em problema discreto). - Para economias de escala: verifique o sinal de
(se negativo, há economias). Sempre comente interpretação econômica (espalhamento do custo fixo, limite assintótico).
Resposta
(a) Custo fixo:
. Custo variável total:
.
(b) Custo médio:
Custo marginal:
(c) Sim. Há economias de escala para
porque
, isto é, o custo médio decresce quando
aumenta (o custo fixo
é diluído), e
.