Uma planta de produção de alumínio metálico opera em regime contínuo, a partir da eletrólise ígnea da alumina dissolvida em criolita.
Essa planta produz, em média: (1350 + 2D - 3U) toneladas de alumínio metálico por dia, mantendo o metal fundido na faixa de 680 a 700^{\circ} \mathrm{C}.
Considere que essa produção diária corresponde a um único forno eletrolítico equivalente, operando 24 horas por dia, com as seguintes informações:
  • Massa molar do alumínio: \mathrm{M}_{\mathrm{Al}}=27 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}.
  • Cada mol de alumínio metálico produzido requer a transferência de \mathbf{3} mols de elétrons.
  • Constante de Avogadro: \mathrm{N}=6,022 \times 10^{23}
  • 1 Coulomb =6,242 \times 10^{18} e -
  • 1 Ampère =1 \mathrm{C} / \mathrm{s}
  • Potência útil, \mathrm{P}_{\mathrm{u}}=\mathrm{E} \times \mathrm{I} (Volt × Ampère = Watt)
  • Rendimento global de conversão da energia elétrica em alumínio metálico (incluindo perdas como calor para manter o banho fundido): \boldsymbol{\eta}=(\mathbf{7 0}+\mathbf{D}-\mathbf{U}) \%.
  • Potência Total, P_{T}=P_{\mathrm{U}} / \eta
  • Consumo diário (\mathrm{kWh})=\mathrm{P}_{\mathrm{T}}(\mathrm{W}) \times 24 / 1000
  • Tensão média entre os eletrodos do forno: \mathbf{E}=(\mathbf{4 , 6}-\mathbf{D}+\mathbf{U}) \mathbf{V}.
Com base nesses dados, determine:
a) A corrente elétrica média que atravessa o forno durante a operação diária.
b) A potência elétrica teórica mínima do forno, em MW, para essa produção, supondo \mathbf{1 0 0} \boldsymbol{\%} de eficiência.
c) A potência elétrica média efetivamente consumida pelo forno, em MW, considerando o rendimento de \eta.
d) A energia elétrica real consumida pelo forno em um dia, em GWh, considerando o rendimento global de \eta.
e) A energia elétrica real consumida pelo forno em um mês, em GWh, considerando o rendimento global de \eta.
Adote 1 dia =24 \mathrm{~h}=86400 \mathrm{~s}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (uso exatamente os símbolos que apareceram no enunciado):
  • Produção média diária de alumínio metálico: \,(1350 + 2D - 3U)\, toneladas por dia.
  • Massa molar do alumínio: \,M_{\mathrm{Al}} = 27\\ \mathrm{g/mol}.
  • Cada mol de \mathrm{Al} produzido requer \,3 mols de elétrons.
  • Constante de Avogadro: \,N = 6{,}022\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}.
  • Relação carga/partícula dada: 1\\ \mathrm{C} = 6{,}242\times10^{18}\\ \text{elétrons}é.
  • Definição de corrente: 1\\ \mathrm{A} = 1\\ \mathrm{C/s}.
  • Potência elétrica útil: \,P_u = E \times I (Volt × Ampère = Watt).
  • Rendimento global: \,\eta = (70 + D - U)\%.
  • Potência total (real) requerida: \,P_T = P_u / \eta (atenção: \eta em fração, não em %).
  • Consumo diário em kWh: \, \mathrm{Consumo\_dia (kWh)} = P_T(\mathrm{W}) \times 24/1000.
  • Tensão média entre eletrodos: \,E = (4{,}6 - D + U)\\ \mathrm{V}.
  • Adotar 1\\ \text{dia} = 24\\ \mathrm{h} = 86400\\ \mathrm{s}.
O enunciado pede, em ordem:
a) corrente elétrica média \,I durante o dia;
b) potência elétrica teórica mínima do forno (supondo 100\% de eficiência) em MW;
c) potência elétrica média efetivamente consumida (considerando \eta) em MW;
d) energia elétrica real consumida em um dia, em GWh (considerando \eta);
e) energia elétrica real consumida em um mês, em GWh (considerando \eta).

Passo 2

Transformar a produção diária em número de mols de alumínio. Explico os conceitos passo a passo.
  • Conceito: “massa molar” \,M_{\mathrm{Al}}=27\\ \mathrm{g/mol} significa que 1 mol de alumínio tem massa 27\\ \mathrm{g}. Para achar o número de mols produzidos, converte-se a massa produzida para gramas e divide-se por M_{\mathrm{Al}}.
  • Conversão de toneladas para gramas: 1\\ \mathrm{ton} = 1000\\ \mathrm{kg} = 10^{6}\\ \mathrm{g}.
Logo a massa diária em gramas é
\text{massa}_\text{g} = (1350 + 2D - 3U)\times 10^{6}\\ \mathrm{g}.
O número de mols de \mathrm{Al} produzidos por dia é
n_{\mathrm{Al}} = \frac{\text{massa}_\text{g}}{M_{\mathrm{Al}}} = \frac{(1350 + 2D - 3U)\times 10^{6}}{27}\\ \mathrm{mol}.
Explico: divide-se a massa em gramas pela massa de um mol (27 g) para obter quantos mols houve.

Passo 3

Converter mols de \mathrm{Al} em carga elétrica total necessária (lei de Faraday). Vou explicar a ideia física:
  • Cada mol de \mathrm{Al} requer 3 mols de elétrons. Então o número de mols de elétrons transferidos é
n_{e^-} = 3\,n_{\mathrm{Al}}.
  • Um mol de elétrons contém N elétrons onde N é a constante de Avogadro. Cada elétron tem carga e. O enunciado fornece a relação 1\\ \mathrm{C} = 6{,}242\times10^{18} elétrons, então a carga elementar (carga de um elétron) é
e = \frac{1}{6{,}242\times10^{18}}\\ \mathrm{C}.
Multiplicando e por N obtém-se a constante de Faraday
F = N e = \frac{6{,}022\times10^{23}}{6{,}242\times10^{18}}\\ \mathrm{C/mol}.
Essa razão vale numericamente (esta é a famosa constante de Faraday)
F \approx 96485\\ \mathrm{C/mol}.
  • A carga total necessária por dia é então:
Q = n_{e^-}\,F = 3\,n_{\mathrm{Al}}\,F.
Agora substituo n_{\mathrm{Al}} (da etapa anterior):
Q = 3 \times \frac{(1350 + 2D - 3U)\times 10^{6}}{27} \times F = \frac{(1350 + 2D - 3U)\times 10^{6}}{9}\,F.

Passo 4

Calcular a corrente média \,I (resposta do item a). Explico:
  • Corrente média é carga total por tempo total: \,I = Q / t, com t = 86400\\ \mathrm{s} (um dia).
Então
I = \frac{Q}{86400} = \frac{(1350 + 2D - 3U)\times 10^{6}}{9}\,\frac{F}{86400}.
Substituindo F \approx 96485\\ \mathrm{C/mol} e agrupando constantes numéricas, é conveniente calcular o fator multiplicador. Faço a simplificação numérica (apenas agrupando constantes, mantemos D e U simbólicos):
\frac{10^{6}F}{9\cdot86400} = \frac{96485\times10^{6}}{777600} \approx 124080{,}504\\ \left(\mathrm{A\\ per\\ unit\\ of}\\ (1350+2D-3U)\right).
Portanto a corrente média é
\boxed{\,I \approx 124080{,}504\; (1350 + 2D - 3U)\\ \mathrm{A}.}
Observação didática rápida: o resultado fica em amperes; é um número grande porque representa o equivalente de um forno industrial inteiro operando 24 h (vários cátodos/anodos em paralelo).

Passo 5

Potência elétrica teórica mínima (100% de eficiência) — item (b).
  • A potência útil em watts, para uma tensão média E e corrente I, é
P_u = E \times I.
O enunciado deu \,E = (4{,}6 - D + U)\\ \mathrm{V}. Então a potência teórica mínima (supondo 100\% de eficiência) em watts é
P_{100\%} = (4{,}6 - D + U)\; I.
Convertendo para megawatts (MW) divide-se por 10^{6}. Substituindo a expressão de I do passo anterior e agrupando os fatores numéricos, obtemos
\boxed{\,P_{100\%}(\mathrm{MW}) \approx 0{,}124080504\,(4{,}6 - D + U)\,(1350 + 2D - 3U)\\ \mathrm{MW}.}
(Expliquei: o número 0{,}124080504 é 124080{,}504/10^{6}, resultado da combinação das constantes mostradas anteriormente.)

Passo 6

Potência média efetivamente consumida pelo forno considerando o rendimento \eta — item (c).
  • O rendimento percentual dado é \eta = (70 + D - U)\%. Em forma de fração (valor entre 0 e 1) é
\eta_\text{frac} = \frac{70 + D - U}{100}.
  • A potência total fornecida (realmente consumida) é a potência útil dividida pelo rendimento:
P_T = \frac{P_u}{\eta_\text{frac}}.
Tomando P_u = P_{100\%} (potência útil que calculamos no passo anterior) e dividindo pelo rendimento, em MW:
\boxed{\,P_T(\mathrm{MW}) \approx \frac{0{,}124080504\,(4{,}6 - D + U)\,(1350 + 2D - 3U)}{(70 + D - U)/100}\\ \mathrm{MW}.}
É prático reescrever multiplicando por 100 no numerador:
P_T(\mathrm{MW}) \approx 12{,}408{,}0504\\ \frac{(4{,}6 - D + U)\,(1350 + 2D - 3U)}{70 + D - U}\times 10^{-3}\\ \mathrm{MW},
mas a forma anterior é mais direta.

Passo 7

Energia elétrica real consumida em um dia (item d) e em um mês (item e).
  • Energia diária (em GWh): se P_T está em MW, então energia diária em MWh é P_T(\mathrm{MW})\times24. Para converter MWh em GWh divide-se por 1000. Assim
\text{Energia\_dia (GWh)} = P_T(\mathrm{MW}) \times \frac{24}{1000} = 0{,}024\,P_T(\mathrm{MW}).
Substituindo a expressão de P_T(\mathrm{MW}) do Passo 6, obtemos:
\boxed{\,\text{Energia\_dia (GWh)} \approx 0{,}024\;\frac{0{,}124080504\,(4{,}6 - D + U)\,(1350 + 2D - 3U)}{(70 + D - U)/100}.}
  • Energia mensal (adotando mês = 30 dias) é simplesmente 30 vezes a energia diária:
\boxed{\,\text{Energia\_mês (GWh)} \approx 30 \times \text{Energia\_dia (GWh)} = 0{,}72\;P_T(\mathrm{MW}).}ê
Ou de forma explícita:
\boxed{\,\text{Energia\_mês (GWh)} \approx 0{,}72\;\frac{0{,}124080504\,(4{,}6 - D + U)\,(1350 + 2D - 3U)}{(70 + D - U)/100}.}ê
(Observação: 0{,}72 = 24\cdot30/1000.)

Resposta

a) I \approx 124080{,}504\,(1350 + 2D - 3U)\\ \mathrm{A}.
b) P_{100\%}(\mathrm{MW}) \approx 0{,}124080504\,(4{,}6 - D + U)\,(1350 + 2D - 3U)\\ \mathrm{MW}.
c) P_T(\mathrm{MW}) \approx \dfrac{0{,}124080504\,(4{,}6 - D + U)\,(1350 + 2D - 3U)}{(70 + D - U)/100}\\ \mathrm{MW}.
d) \text{Energia\_dia (GWh)} \approx 0{,}024\;\dfrac{0{,}124080504\,(4{,}6 - D + U)\,(1350 + 2D - 3U)}{(70 + D - U)/100}\\ \mathrm{GWh}.
e) \text{Energia\_mês (GWh)} \approx 0{,}72\;\dfrac{0{,}124080504\,(4{,}6 - D + U)\,(1350 + 2D - 3U)}{(70 + D - U)/100}\\ \mathrm{GWh}.ê

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