Um satêlite da Terra, transmitindo numa freqüsncia de 40 MHz (exatamente), passa diretamente sobre uma estação receptora de rádio numa altitude de 400 km e com uma velocidado de 3,0 \times 10^{4} \mathrm{~km} / \mathrm{h}. Faça um gráfico da variação da freqüência, atribuída no Efeito Doppler, em função do tempo, considerando t=0 como o instante em que o satébite está sobre a estação. (Sugestio. A velocidade V na fórmula de Doppler não é a velocidade real do satélite, mas sua componente na direção da estação. Despreze a curvatura da Terra e a órbita do satélite.)

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (lista clara do que foi informado e o que precisa ser obtido):
  • Frequência emitida pelo satélite: f_0 = 40{,}0\\ \text{MHz}.
  • Altitude do satélite acima da estação (distância vertical): h = 400\\ \text{km}.
  • Velocidade do satélite (módulo da velocidade ao longo da sua trajetória): V = 3,0\times10^{4}\\ \text{km/h}.
  • O instante t=0 é o momento em que o satélite está exatamente sobre a estação (posição diretamente acima).
  • Desprezar curvatura da Terra e a órbita: modelar o satélite como movendo-se em linha reta com velocidade constante a uma altura fixa h passando sobre a estação.
  • O pedido: obter a variação da frequência observada (efeito Doppler) em função do tempo t e apresentar um gráfico (ou, na falta de desenho, a função e a descrição do comportamento temporal da frequência).
Informações numéricas que vou usar explicitamente (conversões para o SI virão no próximo passo):
  • f_0 = 40{,}0\\ \text{MHz}.
  • h = 400\\ \text{km}.
  • V = 3{,}0\times10^{4}\\ \text{km/h}.

Passo 2

Converter tudo para unidades do Sistema Internacional (m, s, Hz), porque nas fórmulas a velocidade da luz e as derivadas usam essas unidades:
  • Frequência:
f_0 = 40{,}0\\ \text{MHz} = 4{,}00\times10^{7}\\ \text{Hz}.
  • Altura:
h = 400\\ \text{km} = 4{,}00\times10^{5}\\ \text{m}.
  • Velocidade (de km/h para m/s):
V = 3{,}0\times10^{4}\\ \frac{\text{km}}{\text{h}} = 3{,}0\times10^{4}\times\frac{1000\\ \text{m}}{3600\\ \text{s}} = 8{,}333\overline{3}\times10^{3}\\ \frac{\text{m}}{\text{s}}.
  • Velocidade da luz (aproximação útil):
c = 3{,}00\times10^{8}\\ \frac{\text{m}}{\text{s}}.
Vou também definir um tempo característico que facilita a expressão adimensional:
\tau = \frac{h}{V}.
Calculemos \tau:
\tau = \frac{4{,}00\times10^{5}}{8{,}333\overline{3}\times10^{3}}\\ \text{s} = 48{,}0\\ \text{s}.
Interpretação rápida: em aproximadamente 48\\ \text{s} o satélite percorre, horizontalmente, uma distância igual à sua altura.

Passo 3

Explicação didática da fórmula de Doppler a usar e do conceito de componente radial da velocidade:
  • O que é a velocidade radial v_r(t)? É a taxa de variação da distância entre o emissor (satélite) e o receptor (estação). Em termos matemáticos, se r(t) é essa distância então v_r(t)=\dfrac{dr}{dt}.
  • Para ondas eletromagnéticas e velocidades muito menores que c (caso nosso, pois V\ll c), a aproximação de primeira ordem dá a relação linear
f_{\text{obs}}(t) \approx f_0\left(1 - \frac{v_r(t)}{c}\right).
Explicação do sinal: se v_r<0 (distância diminuindo, satélite se aproximando) o termo -v_r/c é positivo e a frequência observada aumenta; se v_r>0 (satélite se afastando) a frequência observada diminui. Essa forma é suficiente e muito usada em problemas de satélites porque a correção relativística de segunda ordem é desprezível para V\sim 8{,}3\times10^{3}\\ \text{m/s}.

Passo 4

Geometria do movimento e cálculo de r(t) e v_r(t):
  • Coloco o eixo horizontal ao longo da trajetória do satélite, com x=0 na vertical sobre a estação. Então a coordenada horizontal do satélite é
x(t)=Vt,
pois t=0 é o instante de passagem por cima da estação.
  • A distância entre satélite e estação é a hipotenusa do triângulo retângulo formado por x e h:
r(t)=\sqrt{(Vt)^2+h^2}.
  • A velocidade radial é a derivada de r(t):
v_r(t)=\frac{dr}{dt}=\frac{d}{dt}\sqrt{(Vt)^2+h^2}=\frac{V^2 t}{\sqrt{(Vt)^2+h^2}}.
Observações sobre o sinal: para t<0 temos v_r(t)<0 (satélite se aproximando), para t=0 temos v_r(0)=0 (distância mínima instantânea) e para t>0 temos v_r(t)>0 (satélite se afastando).

Passo 5

Substituir v_r(t) na fórmula de Doppler linear para obter f_{\text{obs}}(t):
  • Usando
f_{\text{obs}}(t)\approx f_0\left(1-\frac{v_r(t)}{c}\right) \qquad\text{e}\qquad v_r(t)=\frac{V^2 t}{\sqrt{(Vt)^2+h^2}},
obtém-se
f_{\text{obs}}(t)=f_0\left(1-\frac{V^2 t}{c\sqrt{(Vt)^2+h^2}}\right).
  • Podemos simplificar escrevendo em termos da variável adimensional u=\dfrac{t}{\tau}=\dfrac{Vt}{h}. Note que Vt=h u. Substituindo:
v_r(t)=V\cdot\frac{u}{\sqrt{u^2+1}},
e portanto
f_{\text{obs}}(t)=f_0\left(1-\frac{V}{c}\cdot\frac{u}{\sqrt{u^2+1}}\right),
onde u=\dfrac{t}{\tau} e \tau=\dfrac{h}{V}=48{,}0\\ \text{s}. Esta forma é muito útil para traçar o gráfico porque mostra que o comportamento depende apenas de t/\tau e do fator V/c.

Passo 6

Substituição numérica e interpretação prática (valores úteis para o gráfico):
  • Primeiro o fator adimensional \dfrac{V}{c}:
\frac{V}{c}=\frac{8{,}333\overline{3}\times10^{3}}{3{,}00\times10^{8}}=2{,}777\overline{7}\times10^{-5}.
  • A expressão numérica final (em Hz) fica
f_{\text{obs}}(t)=4{,}00\times10^{7}\left(1-2{,}777\overline{7}\times10^{-5}\cdot\frac{t/\tau}{\sqrt{(t/\tau)^2+1}}\right),
com \tau=48{,}0\\ \text{s}.
  • Limites importantes para o gráfico:
    • Para t\to -\infty (muito antes da passagem) a fração \dfrac{u}{\sqrt{u^2+1}}\to -1, logo
    f_{\text{obs}}(-\infty)\approx f_0\left(1+\frac{V}{c}\right)=4{,}00\times10^{7}\left(1+2{,}777\overline{7}\times10^{-5}\right)\approx 4{,}000\,111{,}1\times10^{7}\\ \text{Hz}.Numericamente, a variação máxima positiva (quando vindo de longe) é aproximadamente +\!1{,}111\\ \text{Hz} acima de f_0.
    • Para t=0 (passagem por cima) temos v_r(0)=0 e
    f_{\text{obs}}(0)=f_0=4{,}00\times10^{7}\\ \text{Hz}.
    • Para t\to+\infty (muito depois da passagem) a fração tende a +1 e
    f_{\text{obs}}(+\infty)\approx f_0\left(1-\frac{V}{c}\right)\approx 4{,}00\times10^{7}\left(1-2{,}777\overline{7}\times10^{-5}\right)\approx 3{,}999\,888{,}9\times10^{7}\\ \text{Hz},ou seja, cerca de -\!1{,}111\\ \text{Hz} abaixo de f_0.
  • Escala de tempo do fenômeno: como \tau=48{,}0\\ \text{s}, a variação principal da frequência (passagem da faixa aproximada f_0\pm 1{,}1\\ \text{kHz}) ocorre em algumas dezenas de segundos ao redor de t=0. Para traçar o gráfico, tomar t entre, por exemplo, -300\\ \text{s} e +300\\ \text{s} já mostra bem os assíntotos e a transição.

Passo 7

Como desenhar/interpretar o gráfico de f_{\text{obs}}(t):
  • Eixos: abscissa tempo t (em s), ordenada f_{\text{obs}}(t) (em Hz). Marcar t=0 e f=f_0.
  • Forma: curva contínua e ímpar em torno de t=0 quando plotada a diferença \Delta f(t)=f_{\text{obs}}(t)-f_0 (ou seja, \Delta f(t) é função ímpar). Especificamente:
    • Para t\ll -\tau a frequência tende ao valor assintótico f_0(1+V/c) (ligeiramente acima de f_0).
    • A frequência decresce continuamente até atingir f_0 em t=0.
    • Para t>0 continua decrescendo passando para valores abaixo de f_0 e tende ao assíntoto f_0(1-V/c) para t\to+\infty.
  • Amplitude da variação: pico absoluto (assintótico) de cerca de \pm 1{,}111\\ \text{Hz} em torno de 40{,}000{,}000\\ \text{Hz} — isto é, uma variação muito pequena em porcentagem, mas perceptível em radares/rádios de precisão.

Resposta

f_{\text{obs}}(t)=4{,}00\times10^{7}\left(1-\frac{(8{,}333\overline{3}\times10^{3})^{2}\,t}{3{,}00\times10^{8}\,\sqrt{(8{,}333\overline{3}\times10^{3}\,t)^{2}+(4{,}00\times10^{5})^{2}}}\right)
\text{Forma alternativa mais simples:}\quad f_{\text{obs}}(t)=4{,}00\times10^{7}\!\left(1-\frac{V}{c}\cdot\frac{t/\tau}{\sqrt{(t/\tau)^{2}+1}}\right), \quad\text{com }V/c=2{,}777\overline{7}\times10^{-5}\text{ e }\tau=48{,}0\\ \text{s}.
\text{Valores assintóticos: }f_{\text{obs}}(-\infty)\approx 4{,}000\,111{,}1\times10^{7}\\ \text{Hz},\quad f_{\text{obs}}(+\infty)\approx 3{,}999\,888{,}9\times10^{7}\\ \text{Hz}.ó

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