Um satêlite da Terra, transmitindo numa freqüsncia de 40 MHz (exatamente), passa diretamente sobre uma estação receptora de rádio numa altitude de 400 km e com uma velocidado de
. Faça um gráfico da variação da freqüência, atribuída no Efeito Doppler, em função do tempo, considerando
como o instante em que o satébite está sobre a estação. (Sugestio. A velocidade V na fórmula de Doppler não é a velocidade real do satélite, mas sua componente na direção da estação. Despreze a curvatura da Terra e a órbita do satélite.)
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (lista clara do que foi informado e o que precisa ser obtido):
- Frequência emitida pelo satélite:
. - Altitude do satélite acima da estação (distância vertical):
. - Velocidade do satélite (módulo da velocidade ao longo da sua trajetória):
. - O instante
é o momento em que o satélite está exatamente sobre a estação (posição diretamente acima). - Desprezar curvatura da Terra e a órbita: modelar o satélite como movendo-se em linha reta com velocidade constante a uma altura fixa
passando sobre a estação. - O pedido: obter a variação da frequência observada (efeito Doppler) em função do tempo
e apresentar um gráfico (ou, na falta de desenho, a função e a descrição do comportamento temporal da frequência).
Informações numéricas que vou usar explicitamente (conversões para o SI virão no próximo passo):
-
. -
. -
.
Passo 2
Converter tudo para unidades do Sistema Internacional (m, s, Hz), porque nas fórmulas a velocidade da luz e as derivadas usam essas unidades:
- Frequência:
- Altura:
- Velocidade (de km/h para m/s):
- Velocidade da luz (aproximação útil):
Vou também definir um tempo característico que facilita a expressão adimensional:
Calculemos
:
Interpretação rápida: em aproximadamente
o satélite percorre, horizontalmente, uma distância igual à sua altura.
Passo 3
Explicação didática da fórmula de Doppler a usar e do conceito de componente radial da velocidade:
- O que é a velocidade radial
? É a taxa de variação da distância entre o emissor (satélite) e o receptor (estação). Em termos matemáticos, se é essa distância então . - Para ondas eletromagnéticas e velocidades muito menores que
(caso nosso, pois ), a aproximação de primeira ordem dá a relação linear
Explicação do sinal: se
(distância diminuindo, satélite se aproximando) o termo
é positivo e a frequência observada aumenta; se
(satélite se afastando) a frequência observada diminui. Essa forma é suficiente e muito usada em problemas de satélites porque a correção relativística de segunda ordem é desprezível para
.
Passo 4
Geometria do movimento e cálculo de
e
:
- Coloco o eixo horizontal ao longo da trajetória do satélite, com
na vertical sobre a estação. Então a coordenada horizontal do satélite é
pois
é o instante de passagem por cima da estação.
- A distância entre satélite e estação é a hipotenusa do triângulo retângulo formado por
e :
- A velocidade radial é a derivada de
:
Observações sobre o sinal: para
temos
(satélite se aproximando), para
temos
(distância mínima instantânea) e para
temos
(satélite se afastando).
Passo 5
Substituir
na fórmula de Doppler linear para obter
:
- Usando
obtém-se
- Podemos simplificar escrevendo em termos da variável adimensional
. Note que . Substituindo:
e portanto
onde
e
. Esta forma é muito útil para traçar o gráfico porque mostra que o comportamento depende apenas de
e do fator
.
Passo 6
Substituição numérica e interpretação prática (valores úteis para o gráfico):
- Primeiro o fator adimensional
:
- A expressão numérica final (em Hz) fica
com
.
- Limites importantes para o gráfico:
- Para
(muito antes da passagem) a fração , logo
Numericamente, a variação máxima positiva (quando vindo de longe) é aproximadamente acima de . - Para
(passagem por cima) temos e
- Para
(muito depois da passagem) a fração tende a e
ou seja, cerca de abaixo de . - Para
- Escala de tempo do fenômeno: como
, a variação principal da frequência (passagem da faixa aproximada ) ocorre em algumas dezenas de segundos ao redor de . Para traçar o gráfico, tomar entre, por exemplo, e já mostra bem os assíntotos e a transição.
Passo 7
Como desenhar/interpretar o gráfico de
:
- Eixos: abscissa tempo
(em s), ordenada (em Hz). Marcar e . - Forma: curva contínua e ímpar em torno de
quando plotada a diferença (ou seja, é função ímpar). Especificamente: - Para
a frequência tende ao valor assintótico (ligeiramente acima de ). - A frequência decresce continuamente até atingir
em . - Para
continua decrescendo passando para valores abaixo de e tende ao assíntoto para .
- Para
- Amplitude da variação: pico absoluto (assintótico) de cerca de
em torno de — isto é, uma variação muito pequena em porcentagem, mas perceptível em radares/rádios de precisão.