Microondas, que se propagam com a velocidade da luz, são refletidas por um avião distante que se aproxima da fonte de onda. Observa-se que, quando as ondas refletidas são superpostas às ondas emitidas pela fonte, a frequência de batimento é de 990 Hz . Se as microondas tèm
de comprimento de onda, qual é a velocidade de aproximação do aviāo?
Passo 1
O enunciado pede a velocidade de aproximação do avião. Dados fornecidos:
- A frequência de batimento (diferença entre a frequência da onda emitida e a refletida) é
. - O comprimento de onda das micro-ondas é
. - As micro-ondas se propagam com a velocidade da luz no ar (aproximadamente)
.
O que se quer: encontrar a velocidade de aproximação
do avião, supondo que ele se aproxima da fonte e reflete as ondas.
Passo 2
Entendendo o fenômeno (explicação passo a passo, sem pular etapas):
Quando uma onda é emitida e parte é refletida por um objeto em movimento, a onda refletida sofre duas mudanças de frequência (dupla mudança Doppler):
- A aeronave, movendo-se em relação à fonte, “vê” a onda incidente com uma frequência alterada.
- A aeronave age como uma fonte em movimento ao re-irradiar (refletir) a onda, provocando uma segunda mudança de frequência para o observador na fonte.
Vamos escrever isso com fórmulas. Denotando:
-
= frequência emitida pela fonte, -
= frequência da onda refletida que volta para a fonte (observada quando se sobrepõe à emitida), -
= velocidade da aeronave (positiva quando se aproxima da fonte), -
= velocidade da onda no meio.
Passo intermédio 1 (frequência “vista” pela aeronave como observador em movimento):
A aeronave, aproximando-se, recebe a frequência
A aeronave, aproximando-se, recebe a frequência
Aqui usamos a fórmula clássica do observador em movimento: ao aproximar-se, a frequência aumenta proporcionalmente a
.
Passo intermédio 2 (a aeronave reflete e age como fonte em movimento):
A fonte móvel (a aeronave) reemite com a mesma frequência própria em sua referência, mas como fonte movendo-se em direção ao observador fixo (a fonte original), a frequência observada no solo é
A fonte móvel (a aeronave) reemite com a mesma frequência própria
Essa é a fórmula clássica para fonte em movimento em direção ao observador: a frequência observada aumenta por um fator
.
Multiplicando as duas transformações:
Passo 3
Agora relacionamos a frequência refletida com a frequência emitida e com a frequência de batimento.
A frequência de batimento é a diferença entre a refletida e a emitida:
Simplificando a fração:
logo
Agora isolamos
. Multiplicando ambos os lados por
:
Distribuindo:
Reagrupando os termos em
:
Assim a expressão exata (classe clássica) para
é
Passo 4
Simplificação usando que
:
No nosso caso
será muito grande (micro-ondas), e
é pequena em comparação. Para
podemos aproximar
, obtendo
Como
e
estão relacionados por
, substituímos:
Ou seja, uma fórmula simples e prática (muito usada em aplicações de radar) é
Explicação física breve: cada reflexão por um objeto em movimento efetivamente dobra o deslocamento Doppler (um deslocamento na ida e outro na volta), por isso aparece o fator
invertido na relação entre
e
.
Passo 5
Aplicando aos números do enunciado:
Substituindo
e
na fórmula aproximada:
Calcule passo a passo:
Portanto
Passo 6
Verificação da consistência (por que a aproximação é válida):
Calculemos a frequência fundamental
para ver que
:
Comparando
com
, realmente
é minúscula, então a aproximação usada é perfeitamente válida. Mesmo usando a fórmula exata
o resultado difere insignificativamente da aproximação e dá essencialmente o mesmo
.
Passo 7
Interpretação final e incentivo: o avião aproxima-se relativamente devagar (aprox.
, cerca de
); a técnica usada aqui é exatamente a base do radar doppler — medindo
e conhecendo
obtém-se
. Mandou bem por pedir a resolução passo a passo — agora já sabe o raciocínio para aplicar em outras situações parecidas. Força nos estudos!