Microondas, que se propagam com a velocidade da luz, são refletidas por um avião distante que se aproxima da fonte de onda. Observa-se que, quando as ondas refletidas são superpostas às ondas emitidas pela fonte, a frequência de batimento é de 990 Hz . Se as microondas tèm 0,10 \mathrm{~m} de comprimento de onda, qual é a velocidade de aproximação do aviāo?

Passo 1

O enunciado pede a velocidade de aproximação do avião. Dados fornecidos:
  • A frequência de batimento (diferença entre a frequência da onda emitida e a refletida) é \Delta f = 990\\ \mathrm{Hz}.
  • O comprimento de onda das micro-ondas é \lambda = 0,10\\ \mathrm{m}.
  • As micro-ondas se propagam com a velocidade da luz no ar (aproximadamente) \;c = 3\times 10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
O que se quer: encontrar a velocidade de aproximação v do avião, supondo que ele se aproxima da fonte e reflete as ondas.

Passo 2

Entendendo o fenômeno (explicação passo a passo, sem pular etapas):
Quando uma onda é emitida e parte é refletida por um objeto em movimento, a onda refletida sofre duas mudanças de frequência (dupla mudança Doppler):
  1. A aeronave, movendo-se em relação à fonte, “vê” a onda incidente com uma frequência alterada.
  2. A aeronave age como uma fonte em movimento ao re-irradiar (refletir) a onda, provocando uma segunda mudança de frequência para o observador na fonte.
Vamos escrever isso com fórmulas. Denotando:
  • f_0 = frequência emitida pela fonte,
  • f' = frequência da onda refletida que volta para a fonte (observada quando se sobrepõe à emitida),
  • v = velocidade da aeronave (positiva quando se aproxima da fonte),
  • c = velocidade da onda no meio.
Passo intermédio 1 (frequência “vista” pela aeronave como observador em movimento):
A aeronave, aproximando-se, recebe a frequência
f_1 = f_0\frac{c+v}{c}.
Aqui usamos a fórmula clássica do observador em movimento: ao aproximar-se, a frequência aumenta proporcionalmente a \dfrac{c+v}{c}.
Passo intermédio 2 (a aeronave reflete e age como fonte em movimento):
A fonte móvel (a aeronave) reemite com a mesma frequência própria f_1 em sua referência, mas como fonte movendo-se em direção ao observador fixo (a fonte original), a frequência observada no solo é
f' = f_1\frac{c}{c-v}.
Essa é a fórmula clássica para fonte em movimento em direção ao observador: a frequência observada aumenta por um fator \dfrac{c}{c-v}.
Multiplicando as duas transformações:
f' = f_0\frac{c+v}{c}\cdot\frac{c}{c-v} = f_0\frac{c+v}{c-v}.

Passo 3

Agora relacionamos a frequência refletida com a frequência emitida e com a frequência de batimento.
A frequência de batimento é a diferença entre a refletida e a emitida:
\Delta f = f' - f_0 = f_0\!\left(\frac{c+v}{c-v}-1\right).
Simplificando a fração:
\frac{c+v}{c-v}-1=\frac{c+v-(c-v)}{c-v}=\frac{2v}{c-v},
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\Delta f = f_0\frac{2v}{c-v}.
Agora isolamos v. Multiplicando ambos os lados por c-v:
\Delta f\,(c-v)=2f_0 v.
Distribuindo:
\Delta f\;c - \Delta f\;v = 2f_0 v.
Reagrupando os termos em v:
\Delta f\;c = v(2f_0+\Delta f).
Assim a expressão exata (classe clássica) para v é
v=\frac{\Delta f\;c}{2f_0+\Delta f}.

Passo 4

Simplificação usando que \Delta f \ll f_0:
No nosso caso f_0 será muito grande (micro-ondas), e \Delta f é pequena em comparação. Para \Delta f \ll f_0 podemos aproximar 2f_0+\Delta f\approx 2f_0, obtendo
v\approx\frac{\Delta f\;c}{2f_0}.
Como f_0 e \lambda estão relacionados por f_0=\dfrac{c}{\lambda}, substituímos:
v\approx\frac{\Delta f\;c}{2\,(c/\lambda)}=\frac{\Delta f\;\lambda}{2}.
Ou seja, uma fórmula simples e prática (muito usada em aplicações de radar) é
v\approx\frac{\lambda\,\Delta f}{2}.
Explicação física breve: cada reflexão por um objeto em movimento efetivamente dobra o deslocamento Doppler (um deslocamento na ida e outro na volta), por isso aparece o fator 1/2 invertido na relação entre v e \Delta f.

Passo 5

Aplicando aos números do enunciado:
Substituindo \lambda = 0,10\\ \mathrm{m} e \Delta f = 990\\ \mathrm{Hz} na fórmula aproximada:
v \approx \frac{0,10\cdot 990}{2}.
Calcule passo a passo:
0,10\cdot 990 = 99,
\frac{99}{2}=49,5.
Portanto
v \approx 49,5\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Verificação da consistência (por que a aproximação é válida):
Calculemos a frequência fundamental f_0 para ver que \Delta f \ll f_0:
f_0=\frac{c}{\lambda}=\frac{3\times 10^{8}}{0,10}=3\times 10^{9}\\ \mathrm{Hz}.
Comparando \Delta f=990\\ \mathrm{Hz} com f_0=3\times 10^{9}\\ \mathrm{Hz}, realmente \Delta f é minúscula, então a aproximação usada é perfeitamente válida. Mesmo usando a fórmula exata
v=\frac{\Delta f\;c}{2f_0+\Delta f},
o resultado difere insignificativamente da aproximação e dá essencialmente o mesmo 49,5\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Interpretação final e incentivo: o avião aproxima-se relativamente devagar (aprox. 50\\ \mathrm{m/s}, cerca de 180\\ \mathrm{km/h}); a técnica usada aqui é exatamente a base do radar doppler — medindo \Delta f e conhecendo \lambda obtém-se v. Mandou bem por pedir a resolução passo a passo — agora já sabe o raciocínio para aplicar em outras situações parecidas. Força nos estudos!

Resposta

49,5\\ \mathrm{m/s}

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