Em uma planta de produção de um produto químico, a concentração de um reagente utilizado no processo de síntese precisa ser mantida em 10 \%. Um engenheiro responsável pela qualidade deseja verificar se a concentração real do reagente está diferente de 10 \%. Para isso, ele coleta uma amostra de dez medições da concentração de reagente, cujos valores (em porcentagens) são: 9,64 ; 9, 83 ; 9,72 ; 10,00 ; 9,03 ; 9,66 ; 9,72 ; 8,99 ; 10,28 e 9,37.
Com um nível de significância de 5 \% e fazendo qualquer suposição necessária acerca da população e da amostra, qual a conclusão à respeito da concentração do reagente?(Resposta: Rejeitar H_{0} )

Passo 1

O enunciado pede verificar, com nível de significância de 5\%, se a concentração real do reagente difere de 10\%. Dados fornecidos: dez medições (em porcentagem)
9{,}64,\;9{,}83,\;9{,}72,\;10{,}00,\;9{,}03,\;9{,}66,\;9{,}72,\;8{,}99,\;10{,}28,\;9{,}37.
Hipóteses formuladas (teste bilateral):
H_0:\\ \mu=10\% \quad\text{vs}\quad H_1:\\ \mu\neq 10\%.
Nível de significância: \alpha=0{,}05. A amostra tem n=10. Não há outras informações sobre a população, portanto vamos assumir (como é usual para n pequeno) que as observações são independentes e aproximadamente provenientes de uma população normal, e aplicar o teste t de Student para a média.

Passo 2

Vou calcular a média amostral \bar{x}. A fórmula da média amostral é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde x_i são as observações e n é o tamanho da amostra. Aqui temos n=10 e a soma das observações é
\sum_{i=1}^{10} x_i = 9{,}64+9{,}83+9{,}72+10{,}00+9{,}03+9{,}66+9{,}72+8{,}99+10{,}28+9{,}37 = 96{,}24.
Logo
\bar{x}=\frac{96{,}24}{10}=9{,}624.
Interpretação: a média das dez medições é \bar{x}=9{,}624\%.

Passo 3

Agora calculo a variância amostral e o desvio padrão amostral. A fórmula da variância amostral (não viciada) é
s^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})^{2},
onde s^{2} é a estimativa da variância populacional e s é o desvio padrão amostral s=\sqrt{s^{2}}.
Calculo as diferenças e seus quadrados (tudo em \%):
\begin{array}{ll} x_1-\bar{x}=9{,}64-9{,}624=0{,}016\quad& (x_1-\bar{x})^{2}=0{,}000256\\[2mm] x_2-\bar{x}=9{,}83-9{,}624=0{,}206\quad& (x_2-\bar{x})^{2}=0{,}042436\\[2mm] x_3-\bar{x}=9{,}72-9{,}624=0{,}096\quad& (x_3-\bar{x})^{2}=0{,}009216\\[2mm] x_4-\bar{x}=10{,}00-9{,}624=0{,}376\quad& (x_4-\bar{x})^{2}=0{,}141376\\[2mm] x_5-\bar{x}=9{,}03-9{,}624=-0{,}594\quad& (x_5-\bar{x})^{2}=0{,}352836\\[2mm] x_6-\bar{x}=9{,}66-9{,}624=0{,}036\quad& (x_6-\bar{x})^{2}=0{,}001296\\[2mm] x_7-\bar{x}=9{,}72-9{,}624=0{,}096\quad& (x_7-\bar{x})^{2}=0{,}009216\\[2mm] x_8-\bar{x}=8{,}99-9{,}624=-0{,}634\quad& (x_8-\bar{x})^{2}=0{,}401956\\[2mm] x_9-\bar{x}=10{,}28-9{,}624=0{,}656\quad& (x_9-\bar{x})^{2}=0{,}430336\\[2mm] x_{10}-\bar{x}=9{,}37-9{,}624=-0{,}254\quad& (x_{10}-\bar{x})^{2}=0{,}064516 \end{array}
Somando os quadrados das diferenças:
\sum_{i=1}^{10}(x_i-\bar{x})^{2}=1{,}45344.
Portanto
s^{2}=\frac{1{,}45344}{10-1}=\frac{1{,}45344}{9}=0{,}161493\ldots
e
s=\sqrt{0{,}161493\ldots}=0{,}40186\ldots\approx 0{,}4019.
Interpretação: o desvio padrão amostral é s\approx 0{,}4019\%, que mede a dispersão das medições em torno da média.]

Passo 4

Agora calculo o erro padrão da média (standard error), que é a estimativa do desvio padrão da distribuição amostral da média:
\text{erro padrão} = \frac{s}{\sqrt{n}}.ã
Substituindo s\approx 0{,}40186 e n=10,
\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{0{,}40186}{\sqrt{10}}=\frac{0{,}40186}{3{,}16228}\approx 0{,}12716.
Esse valor nos diz quanto, em média, a média amostral varia em torno da média populacional.

Passo 5

Defino a estatística de teste t. Para testar a média quando o desvio padrão populacional é desconhecido, usamos
t=\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}},
onde \mu_0 é o valor sob H_0. Aqui \mu_0=10\%. Substituindo:
t=\frac{9{,}624-10}{0{,}12716}=\frac{-0{,}376}{0{,}12716}\approx -2{,}957.
Interpretação: obtemos t\approx -2{,}957. Esse valor mede quantos erros padrão a média amostral está abaixo de 10\%.

Passo 6

Decisão pelo valor crítico. Como o teste é bilateral com \alpha=0{,}05 e graus de liberdade df=n-1=9, o valor crítico da t de Student é
t_{0{,}975,\,9}\approx 2{,}262.
Regra de decisão: rejeitar H_0 se |t|>t_{0{,}975,\,9}. Aqui |t|=2{,}957 e 2{,}957>2{,}262. Portanto, pela regra dos valores críticos, rejeitamos H_0.

Passo 7

(Complemento com p‑valor) Podemos também ver o p‑valor: para t\approx -2{,}957 com df=9, o p‑valor bilateral é aproximadamente
p\text{-valor}\approx 0{,}015\text{ a }0{,}017\\ (\text{aprox.}),
ou seja, bem menor que \alpha=0{,}05. Isso confirma a decisão de rejeitar H_0. Interpretação do p‑valor: a probabilidade de obter uma média amostral tão extrema quanto a observada (ou mais) se a média real fosse 10\% é cerca de 1{,}5\%, bem baixa.

Passo 8

Resumo das suposições e interpretação final (didática rápida): para usar este teste assumi que as medições são independentes e que a população tem distribuição aproximadamente normal (necessário porque n é pequeno). Se as suposições foram válidas, a evidência estatística indica que a média real da concentração difere de 10\%. Em linguagem mais leve: as medições estão consistentemente mais baixas do que 10\% a ponto de ser improvável isso ser só sorte da amostra.

Resposta

Rejeitar H_{0}

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