Em uma planta de produção de um produto químico, a concentração de um reagente utilizado no processo de síntese precisa ser mantida em
. Um engenheiro responsável pela qualidade deseja verificar se a concentração real do reagente está diferente de
. Para isso, ele coleta uma amostra de dez medições da concentração de reagente, cujos valores (em porcentagens) são: 9,64 ; 9,
e
.
Com um nível de significância de
e fazendo qualquer suposição necessária acerca da população e da amostra, qual a conclusão à respeito da concentração do reagente?(Resposta: Rejeitar
)
Passo 1
O enunciado pede verificar, com nível de significância de
, se a concentração real do reagente difere de
. Dados fornecidos: dez medições (em porcentagem)
Hipóteses formuladas (teste bilateral):
Nível de significância:
. A amostra tem
. Não há outras informações sobre a população, portanto vamos assumir (como é usual para
pequeno) que as observações são independentes e aproximadamente provenientes de uma população normal, e aplicar o teste t de Student para a média.
Passo 2
Vou calcular a média amostral
. A fórmula da média amostral é
onde
são as observações e
é o tamanho da amostra. Aqui temos
e a soma das observações é
Logo
Interpretação: a média das dez medições é
.
Passo 3
Agora calculo a variância amostral e o desvio padrão amostral. A fórmula da variância amostral (não viciada) é
onde
é a estimativa da variância populacional e
é o desvio padrão amostral
.
Calculo as diferenças e seus quadrados (tudo em
):
Somando os quadrados das diferenças:
Portanto
e
Interpretação: o desvio padrão amostral é
, que mede a dispersão das medições em torno da média.]
Passo 4
Agora calculo o erro padrão da média (standard error), que é a estimativa do desvio padrão da distribuição amostral da média:
Substituindo
e
,
Esse valor nos diz quanto, em média, a média amostral varia em torno da média populacional.
Passo 5
Defino a estatística de teste t. Para testar a média quando o desvio padrão populacional é desconhecido, usamos
onde
é o valor sob
. Aqui
. Substituindo:
Interpretação: obtemos
. Esse valor mede quantos erros padrão a média amostral está abaixo de
.
Passo 6
Decisão pelo valor crítico. Como o teste é bilateral com
e graus de liberdade
, o valor crítico da t de Student é
Regra de decisão: rejeitar
se
. Aqui
e
. Portanto, pela regra dos valores críticos, rejeitamos
.
Passo 7
(Complemento com p‑valor) Podemos também ver o p‑valor: para
com
, o p‑valor bilateral é aproximadamente
ou seja, bem menor que
. Isso confirma a decisão de rejeitar
. Interpretação do p‑valor: a probabilidade de obter uma média amostral tão extrema quanto a observada (ou mais) se a média real fosse
é cerca de
, bem baixa.
Passo 8
Resumo das suposições e interpretação final (didática rápida): para usar este teste assumi que as medições são independentes e que a população tem distribuição aproximadamente normal (necessário porque
é pequeno). Se as suposições foram válidas, a evidência estatística indica que a média real da concentração difere de
. Em linguagem mais leve: as medições estão consistentemente mais baixas do que
a ponto de ser improvável isso ser só sorte da amostra.
Resposta
Rejeitar