Exercício 8. A seguir estão as porcentagens de encolhimento na secagem de 40 espécimes de cerâmica plástica.
20,3 16,8 21,7 19,4 15,9 18,3 22,3 17,1 19,6 21,5 21,5 17,9 19,5 19,7 13,3 20,5
19,8 19,3 17,9 18,9 18,1 23,5 19,8 20,4 18,4 19,5 18,5 17,4 18,7 18,3 20,4 20,1
17,8 17,3 20,0 19,2 18,4 19,0
17,5
(a) Agrupe essas porcentagens numa distribuição de frequências.
(b) Construa o histograma .

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) agrupar as porcentagens numa distribuição de frequências e (b) construir o histograma dessa distribuição.
Peguei os dados da tabela fornecida no enunciado (os valores estão na tabela). Ao conferir os números da tabela eu contei 39 observações listadas; o enunciado fala em 40 espécimes, então parece faltar um valor na transcrição da tabela — não tenho como recuperar esse possível valor que não foi fornecido. Vou proceder com as 39 observações que vejo na tabela. Os valores (em porcentagem) lidos da tabela são:
20,3,\;16,8,\;21,7,\;19,4,\;15,9,\;18,3,\;22,3,\;17,1,\;19,6,\;21,5,\;21,5,\;17,9,\;19,5,\;19,7,\;13,3,\;20,5,
19,8,\;19,3,\;17,9,\;18,9,\;18,1,\;23,5,\;19,8,\;20,4,\;18,4,\;19,5,\;18,5,\;17,4,\;18,7,\;18,3,\;20,4,\;20,1,
17,8,\;17,3,\;20,0,\;19,2,\;18,4,\;19,0,\;17,5.

Passo 2

Como escolher o número de classes? Uma regra simples e comum é a regra de Sturges:
k = 1 + \log_{2}(n).
Aqui n é o número de observações que temos (no meu caso n=39). Vou calcular:
\log_{2}(39)\approx 5,29\quad\Rightarrow\quad k\approx 1+5,29=6,29.
Arredondamos para um número inteiro prático de classes; escolho k=6. É uma escolha simples e adequada para n perto de 40.

Passo 3

Vou calcular o intervalo total (alcance) dos dados para obter a largura de classe:
Peguei o menor e o maior valor na tabela: o mínimo é \min=13,3\% (do dado \,13,3\%) e o máximo é \max=23,5\% (do dado \,23,5\%). Então o alcance é
R=\max-\min=23,5\%-13,3\%=10,2\%.

Passo 4

A largura ideal de classe (sem arredondar) é
h=\frac{R}{k}=\frac{10,2\%}{6}\approx 1,7\%.
Para facilitar o trabalho (e para obter limites de classe “redondos”), vou arredondar a largura para h=2{,}0\%. Isso é comum: escolhe-se uma largura ligeiramente maior para ter limites simples como 13{,}0\%, 15{,}0\%, etc. Como o menor observado é 13{,}3\%, começar em 13{,}0\% cobre todos os dados.
Também preciso decidir a convenção dos limites. Vou usar intervalos do tipo “fechado à esquerda e aberto à direita”: [a,b) inclui a e exclui b. Assim não há sobreposição ambígua em pontos de fronteira como 19{,}0\%.

Passo 5

Defino as 6 classes com largura 2{,}0\% a partir de 13{,}0\%:
\begin{aligned} \text{Classe 1: }& [13{,}0\%,\;15{,}0\%)\\\ \text{Classe 2: }& [15{,}0\%,\;17{,}0\%)\\\ \text{Classe 3: }& [17{,}0\%,\;19{,}0\%)\\\ \text{Classe 4: }& [19{,}0\%,\;21{,}0\%)\\\ \text{Classe 5: }& [21{,}0\%,\;23{,}0\%)\\\ \text{Classe 6: }& [23{,}0\%,\;25{,}0\%) \end{aligned}
A marca de classe (ponto médio) de cada classe é calculada por \text{marca}=(\text{limite inferior}+\text{limite superior})/2. Por exemplo, para a classe [13{,}0\%,15{,}0\%) a marca é 14{,}0\%.

Passo 6

Agora conto quantos dados caem em cada classe (usando a convenção [) mencionada). Ao atribuir cada observação à sua classe, obtive as seguintes contagens:
  • Classe [13{,}0\%,15{,}0\%): frequência absoluta f=1 (o valor 13{,}3\%).
  • Classe [15{,}0\%,17{,}0\%): f=2 (valores 15{,}9\% e 16{,}8\%).
  • Classe [17{,}0\%,19{,}0\%): f=15.
  • Classe [19{,}0\%,21{,}0\%): f=16.
  • Classe [21{,}0\%,23{,}0\%): f=4.
  • Classe [23{,}0\%,25{,}0\%): f=1 (o valor 23{,}5\%).
Verificação rápida: 1+2+15+16+4+1=39, que é o número de observações que tenho.

Passo 7

Vou também apresentar frequências relativas e acumuladas, pois isso ajuda a interpretar e a construir o histograma:
A frequência relativa é f/n e a frequência relativa em porcentagem é 100\cdot f/n (com n=39). As frequências acumuladas somam progressivamente as frequências absolutas.
Tabela resumida (cada linha mostra: classe — marca de classe — f f/n (aprox.) — 100\cdot f/n (aprox.) — frequência acumulada):
\begin{aligned} [13{,}0\%,15{,}0\%) &\quad\text{marca }14{,}0\% & f=1 & f/n\approx 0{,}0256 & \approx 2{,}56\% & \text{acum}=1\\[4pt] [15{,}0\%,17{,}0\%) &\quad\text{marca }16{,}0\% & f=2 & f/n\approx 0{,}0513 & \approx 5{,}13\% & \text{acum}=3\\[4pt] [17{,}0\%,19{,}0\%) &\quad\text{marca }18{,}0\% & f=15 & f/n\approx 0{,}3846 & \approx 38{,}46\% & \text{acum}=18\\[4pt] [19{,}0\%,21{,}0\%) &\quad\text{marca }20{,}0\% & f=16 & f/n\approx 0{,}4103 & \approx 41{,}03\% & \text{acum}=34\\[4pt] [21{,}0\%,23{,}0\%) &\quad\text{marca }22{,}0\% & f=4 & f/n\approx 0{,}1026 & \approx 10{,}26\% & \text{acum}=38\\[4pt] [23{,}0\%,25{,}0\%) &\quad\text{marca }24{,}0\% & f=1 & f/n\approx 0{,}0256 & \approx 2{,}56\% & \text{acum}=39 \end{aligned}
Explicação de como desenhar o histograma (passo-a-passo prático para a prova):
  • No eixo horizontal (eixo x) coloque as classes em porcentagem, por exemplo marcando 13\%, 15\%, 17\%, 19\%, 21\%, 23\%, 25\%.
  • No eixo vertical (eixo y) coloque a frequência absoluta (0, 2, 4, 6, …, até pelo menos 16).
  • Para cada classe desenhe um retângulo que ocupa a largura da classe (aqui 2{,}0\%) e tem altura igual à frequência absoluta da classe. Assim as alturas das barras serão, em ordem das classes: 1,\;2,\;15,\;16,\;4,\;1.
  • Como as classes têm a mesma largura, a altura das barras proporcional à frequência absoluta representa corretamente a densidade de frequência; as barras devem tocar-se (sem espaços) para indicar intervalo contínuo.]

Resposta

(a) Distribuição de frequências agrupada (classes com largura 2{,}0\%, n=39):
\begin{aligned} [13{,}0\%,15{,}0\%) &: \text{marca }14{,}0\%,\; f=1,\; f/n\approx 0{,}0256\;(\approx 2{,}56\%),\; \text{acum}=1\\\ [15{,}0\%,17{,}0\%) &: \text{marca }16{,}0\%,\; f=2,\; f/n\approx 0{,}0513\;(\approx 5{,}13\%),\; \text{acum}=3\\\ [17{,}0\%,19{,}0\%) &: \text{marca }18{,}0\%,\; f=15,\; f/n\approx 0{,}3846\;(\approx 38{,}46\%),\; \text{acum}=18\\\ [19{,}0\%,21{,}0\%) &: \text{marca }20{,}0\%,\; f=16,\; f/n\approx 0{,}4103\;(\approx 41{,}03\%),\; \text{acum}=34\\\ [21{,}0\%,23{,}0\%) &: \text{marca }22{,}0\%,\; f=4,\; f/n\approx 0{,}1026\;(\approx 10{,}26\%),\; \text{acum}=38\\\ [23{,}0\%,25{,}0\%) &: \text{marca }24{,}0\%,\; f=1,\; f/n\approx 0{,}0256\;(\approx 2{,}56\%),\; \text{acum}=39 \end{aligned}
(b) Histograma (instruções/valores para desenhar):
  • Eixo x: classes [13{,}0\%,15{,}0\%),[15{,}0\%,17{,}0\%),[17{,}0\%,19{,}0\%),[19{,}0\%,21{,}0\%),[21{,}0\%,23{,}0\%),[23{,}0\%,25{,}0\%).
  • Alturas (frequência absoluta) das barras, em ordem das classes: 1,\;2,\;15,\;16,\;4,\;1.
  • Observe que as barras tocam-se (sem espaços) e cada barra tem largura 2{,}0\% no eixo x.

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