Plot the point whose polar coordinates are given. Then find two other pairs of polar coordinates of this point, one with r>0 and one with r<0.
(b) (-3, pi / 6)

Passo 1

O enunciado dá o ponto em coordenadas polares (-3,pi/6) e pede para:
  1. localizá-lo (plotar)
  2. encontrar uma outra representação com r>0
  3. encontrar uma outra representação com r<0
Vamos usar a relação entre coordenadas polares e cartesianas para entender onde o ponto fica e depois ajustar r e theta.

Passo 2

Convertemos para coordenadas cartesianas via
x = rcostheta, y = rsintheta
Assim, para r=-3 e theta=pi/6,
x = -3cos!l(tfracpi6r) = -3cdotraiz32 = -3raiz32,
y = -3sin!l(tfracpi6r) = -3cdot12 = -32
O ponto l(-tfrac3raiz32,,-tfrac32r) está no terceiro quadrante, a distância ao eixo é 3.

Passo 3

Para achar uma representação com r>0, calculamos
r = raizx^2+y^2 = 3
e o ângulo theta medido a partir de x>0. O ângulo de referência é
arctanl|tfracyxr| = arctanl(tfrac1,52,598r) = tfracpi6,
mas como estamos no terceiro quadrante,
theta = pi + pi6 = 7pi6
Logo, uma representação com r>0 é
l(3,tfrac7pi6r)

Passo 4

Para outra representação com r<0 — diferente da original — mantemos r=-3 e somamos 2pi ao ângulo para mudá-lo sem alterar o ponto:
l(-3,;pi/6 + 2pir) = l(-3,;13pi/6r)

Resposta

A mesma posição pode ser dada por
(3,tfrac7pi6) e (-3,tfrac13pi6)

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