Plotar o gráfico dos seguintes polinômios:
P 3(x)=2 x^{12}+2 x^{11}-4 x^{8}-6 x^{7}+3 x^{6}-6 x^{5}+8 x^{4}-3 x^{2}+4

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dá o polinômio
P_3(x)=2x^{12}+2x^{11}-4x^{8}-6x^{7}+3x^{6}-6x^{5}+8x^{4}-3x^{2}+4.
  • Pede: plotar (esboçar) o gráfico de P_3(x).
Informações relevantes fornecidas:
  • O polinômio está explícito; não há figura adicional.
  • Devemos obter um esboço razoavelmente fiel ao comportamento real da função (interceptos, extremos, comportamento nas extremidades, pontos-chave e sinais).

Passo 2

Plano de ataque — regras práticas para esboçar polinômios (explicação didática):
  1. Verificar o grau e o coeficiente líder para saber o comportamento quando x\to\pm\infty.
  2. Calcular intercepto em y ( x=0) e buscar raízes evidentes (avaliar P_3 em inteiros simples).
  3. Calcular a derivada P_3'(x) para localizar pontos críticos (máximos/mínimos) e usar a segunda derivada para classificação.
  4. Fazer uma tabela de valores em pontos estratégicos (valores negativos, 0, vizinhança das raízes, alguns positivos) para ver a forma local.
  5. Usar o Teorema do Valor Intermediário para localizar raízes aproximadas quando houver mudança de sinal.
  6. Com essas informações, traçar o esboço: marcar interceptos, extremos, comportamento assintótico e conectar suavemente respeitando multiplicidades de raízes (se conhecidas).
Vou aplicar esse plano passo a passo — não se preocupe, eu vou calcular tudo e explicar cada conta.

Passo 3

Grau e comportamento nas extremidades:
  • O termo de maior grau é 2x^{12}. Portanto o grau é 12 (par) e o coeficiente líder é 2>0.
  • Conclusão sobre end behavior: quando x\to+\infty tem P_3(x)\to+\infty e quando x\to-\infty também P_3(x)\to+\infty (porque grau par e coeficiente positivo). Isso dita que as duas “pontas” do gráfico apontam para cima.

Passo 4

Intercepto em y e avaliação em pontos simples:
  • Intercepto em y: P_3(0)=4. Logo o ponto (0,4) está no gráfico.
  • Avaliar P_3(1):
P_3(1)=2+2-4-6+3-6+8-3+4=0.
Logo x=1 é uma raiz exata: P_3(1)=0.
  • Avaliar P_3(-1) (para ver comportamento à esquerda):
P_3(-1)=2-2-4+6+3+6+8-3+4=20.
Portanto P_3(-1)=20>0.
  • Avaliar P_3(2) e P_3(-2) para ver escala:
P_3(2)=10616,\qquad P_3(-2)=4344,
ambos grandes e positivos (cálculos diretos com as potências), confirmando crescimento para valores absolutos maiores de x.
Essas avaliações já mostram: à esquerda (ex.: -2,-1) a função é positiva; em x=0 é 4; em x=1 cruza o eixo x (pois vale 0).

Passo 5

Derivada e classificação de x=0:
  • Calcular a derivada P_3'(x). Derivando termo a termo:
P_3'(x)=24x^{11}+22x^{10}-32x^7-42x^6+18x^5-30x^4+32x^3-6x.
  • Observação: P_3'(x) tem um fator x evidente (todos os termos têm x como fator), portanto x=0 é ponto crítico ( P_3'(0)=0 ).
  • Segunda derivada (para classificar) — derivando P_3'(x):
P_3''(x)=264x^{10}+220x^9-224x^6-252x^5+90x^4-120x^3+96x^2-6.
  • Avaliando em x=0:
P_3''(0)=-6<0.
Portanto em x=0 temos um ponto de máximo local. Conclusão: (0,4) é um máximo local.
Comentário didático curto: a segunda derivada fornece curvatura; se negativa temos concavidade para baixo e portanto máximo local.

Passo 6

Multiplicidade da raiz x=1 (usar derivada) e direção de cruzamento:
  • Calculamos P_3(1)=0. Para ver se é raiz simples, avaliamos P_3'(1):
P_3'(1)=24+22-32-42+18-30+32-6=-14\neq0.
Como P_3'(1)\neq0, a raiz x=1 tem multiplicidade 1 (simples) e a curva cruza o eixo x em x=1. O sinal de P_3'(1)=-14 indica que, ao passar por x=1 no sentido crescente de x, a função está decrescendo (derivada negativa naquele ponto): imediatamente à direita de 1 a função tende a diminuir.

Passo 7

Tabela de valores em pontos estratégicos (cálculos mostrados resumidamente) — isso ajuda a desenhar:
  • P_3(-2)=4344 (positivo grande).
  • P_3(-1)=20 (positivo).
  • P_3(0)=4.
  • P_3(0{,}5)\approx3{,}548 (positivo — avaliado explicitamente com potências de 0{,}5).
  • P_3(1)=0.
  • P_3(1{,}05)\approx-0{,}561 (leve negativo).
  • P_3(1{,}1)\approx-0{,}549 (ainda negativo, pouco diferente).
  • P_3(1{,}2)\approx4{,}291 (positivo).
  • P_3(1{,}5)\approx253{,}6 (positivo e já grande).
  • P_3(2)=10616 (positivo e muito grande).
Observações a partir da tabela:
  • Entre x=1 (valor 0) e x=1{,}2 (valor \approx4{,}29) há mudança de sinal; entre 1 e 1{,}1 a função fica negativa (pequeno valor negativo) e depois volta a ficar positiva. Isso indica a presença de um mínimo local (negativo e raso) logo à direita de x=1, e uma segunda raiz entre 1 e 1{,}2.
  • À esquerda de x=1 a função passa por x=0 onde há um máximo local ( 4), depois desce até x=1 onde cruza.

Passo 8

Localizar aproximadamente a segunda raiz positiva (uso do Teorema do Valor Intermediário e interpolação linear):
  • Como P_3(1{,}1)\approx-0{,}549 e P_3(1{,}2)\approx4{,}291, existe uma raiz em (1{,}1,1{,}2).
  • Fazendo uma interpolação linear grosseira para aproximar a raiz:
x_{\text{raiz}}\approx 1{,}1 + \frac{0{,}549}{0{,}549+4{,}291}\cdot(1{,}2-1{,}1)\approx 1{,}111\\ \text{(aprox.)}.
  • Portanto há uma segunda raiz real aproximada em x\approx 1{,}111. (Ambas as raízes encontradas — x=1 e x\approx1{,}111 — são simples.)

Passo 9

Local mínimo entre as duas raízes — estimativa:
  • Sabemos que P_3'(1)=-14<0 e P_3'(1{,}1)\approx +9{,}83>0 (cálculo direto de P_3'(1{,}1)), logo P_3' troca de sinal entre 1 e 1{,}1. Assim existe um ponto crítico (mínimo local) em algum x\in(1,1{,}1).
  • Estimativas anteriores de P_3(1{,}05) e P_3(1{,}1) mostram que o mínimo local tem valor em torno de -0{,}56 e ocorre perto de x\approx 1{,}07 (aprox.).
  • Conclusão prática: há um mínimo local raso com aproximadamente coordenadas \bigl(1{,}07,\,-0{,}57\bigr).

Passo 10

Montando o esboço (como conectar os pontos — explicação prática passo a passo):
  1. Nas extremidades (grandes |x|) P_3(x)\to+\infty. Desenhe as duas pontas indo para cima.
  2. À esquerda, para x negativo, a função é positiva (ex.: (-2,4344), (-1,20)): aproxima-se do eixo x mas sem cruzá-lo nessa região — marque alguns pontos positivos e conecte suavemente.
  3. Ao chegar em x=0 marque (0,4); é um máximo local (curvatura para baixo ali). Faça a curva atingir esse pico.
  4. Depois do máximo, a função desce e cruza o eixo x em x=1 (raiz simples). Marque (1,0).
  5. Continuando para a direita, a função desce um pouco mais até um mínimo local raso perto de x\approx1{,}07 com y\approx-0{,}57.
  6. Em seguida a função sobe, cruza novamente o eixo em x\approx1{,}111 (segunda raiz real) e explode para cima rapidamente (em x=1{,}5 já é grande e em x=2 enorme).
  7. Conectar suavemente todos esses pontos respeitando que os extremos são suaves (não há multiplicidades pares aparentes nas raízes reais identificadas).
Dica prática: para um esboço feito à mão, os pontos que realmente orientam bem são: (-2,4344), (-1,20), (0,4) (máx), (1,0) (raiz simples), (1{,}07,-0{,}57) (mínimo local aprox.), (1{,}111,0) (segunda raiz aprox.), (1{,}5,253), (2,10616). Marque esses pontos e ligue-os com uma curva suave.

Passo 11

Resumo pedagógico final — como você aplica isso numa prova:
  • Sempre comece pelo grau e coeficiente líder para saber as “pontas” do gráfico.
  • Procure raízes inteiras óbvias ( x=1 aqui foi exata).
  • Derivadas ajudam a achar extremos: calcule P'(x), veja pontos críticos fáceis (aqui x=0 saiu imediatamente) e use P'' para classificar.
  • Monte uma pequena tabela de valores em pontos estratégicos (inteiros e alguns pontos entre raízes) para saber sinais e localizar raízes por mudança de sinal.
  • Use interpolação linear simples para estimar raízes entre dois pontos com sinais opostos.
  • Ao esboçar, marque bem interceptos e extremos e conecte respeitando monotonia e concavidade.
Força aí — com essa tabela e esses pontos fica fácil fazer um esboço fiel em poucos minutos.

Resposta

Grau 12, coeficiente líder 2>0 P_3(x)\to+\infty quando x\to\pm\infty.
Intercepto em y: P_3(0)=4.
Raízes reais encontradas: x=1 (exata, simples) e x\approx 1{,}111 (aprox.).
Ponto crítico em x=0: máximo local em (0,4) (porque P_3'(0)=0 e P_3''(0)=-6<0).
Há um mínimo local raso entre 1 e 1{,}1, aproximadamente \bigl(1{,}07,\,-0{,}57\bigr).
Sinais/valores adicionais úteis para o esboço: P_3(-2)=4344, P_3(-1)=20, P_3(0{,}5)\approx3{,}548, P_3(1{,}05)\approx-0{,}561, P_3(1{,}2)\approx4{,}291, P_3(1{,}5)\approx253{,}6, P_3(2)=10616.

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