Plotar o gráfico dos seguintes polinômios:
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dá o polinômio
- Pede: plotar (esboçar) o gráfico de
.
Informações relevantes fornecidas:
- O polinômio está explícito; não há figura adicional.
- Devemos obter um esboço razoavelmente fiel ao comportamento real da função (interceptos, extremos, comportamento nas extremidades, pontos-chave e sinais).
Passo 2
Plano de ataque — regras práticas para esboçar polinômios (explicação didática):
- Verificar o grau e o coeficiente líder para saber o comportamento quando
. - Calcular intercepto em
( ) e buscar raízes evidentes (avaliar em inteiros simples). - Calcular a derivada
para localizar pontos críticos (máximos/mínimos) e usar a segunda derivada para classificação. - Fazer uma tabela de valores em pontos estratégicos (valores negativos, 0, vizinhança das raízes, alguns positivos) para ver a forma local.
- Usar o Teorema do Valor Intermediário para localizar raízes aproximadas quando houver mudança de sinal.
- Com essas informações, traçar o esboço: marcar interceptos, extremos, comportamento assintótico e conectar suavemente respeitando multiplicidades de raízes (se conhecidas).
Vou aplicar esse plano passo a passo — não se preocupe, eu vou calcular tudo e explicar cada conta.
Passo 3
Grau e comportamento nas extremidades:
- O termo de maior grau é
. Portanto o grau é (par) e o coeficiente líder é . - Conclusão sobre end behavior: quando
tem e quando também (porque grau par e coeficiente positivo). Isso dita que as duas “pontas” do gráfico apontam para cima.
Passo 4
Intercepto em
e avaliação em pontos simples:
- Intercepto em
: . Logo o ponto está no gráfico. - Avaliar
:
Logo
é uma raiz exata:
.
- Avaliar
(para ver comportamento à esquerda):
Portanto
.
- Avaliar
e para ver escala:
ambos grandes e positivos (cálculos diretos com as potências), confirmando crescimento para valores absolutos maiores de
.
Essas avaliações já mostram: à esquerda (ex.:
) a função é positiva; em
é
; em
cruza o eixo
(pois vale
).
Passo 5
Derivada e classificação de
:
- Calcular a derivada
. Derivando termo a termo:
- Observação:
tem um fator evidente (todos os termos têm como fator), portanto é ponto crítico ( ). - Segunda derivada (para classificar) — derivando
:
- Avaliando em
:
Portanto em
temos um ponto de máximo local. Conclusão:
é um máximo local.
Comentário didático curto: a segunda derivada fornece curvatura; se negativa temos concavidade para baixo e portanto máximo local.
Passo 6
Multiplicidade da raiz
(usar derivada) e direção de cruzamento:
- Calculamos
. Para ver se é raiz simples, avaliamos :
Como
, a raiz
tem multiplicidade
(simples) e a curva cruza o eixo
em
. O sinal de
indica que, ao passar por
no sentido crescente de
, a função está decrescendo (derivada negativa naquele ponto): imediatamente à direita de
a função tende a diminuir.
Passo 7
Tabela de valores em pontos estratégicos (cálculos mostrados resumidamente) — isso ajuda a desenhar:
-
(positivo grande). -
(positivo). -
. -
(positivo — avaliado explicitamente com potências de ). -
. -
(leve negativo). -
(ainda negativo, pouco diferente). -
(positivo). -
(positivo e já grande). -
(positivo e muito grande).
Observações a partir da tabela:
- Entre
(valor ) e (valor ) há mudança de sinal; entre e a função fica negativa (pequeno valor negativo) e depois volta a ficar positiva. Isso indica a presença de um mínimo local (negativo e raso) logo à direita de , e uma segunda raiz entre e . - À esquerda de
a função passa por onde há um máximo local ( ), depois desce até onde cruza.
Passo 8
Localizar aproximadamente a segunda raiz positiva (uso do Teorema do Valor Intermediário e interpolação linear):
- Como
e , existe uma raiz em . - Fazendo uma interpolação linear grosseira para aproximar a raiz:
- Portanto há uma segunda raiz real aproximada em
. (Ambas as raízes encontradas — e — são simples.)
Passo 9
Local mínimo entre as duas raízes — estimativa:
- Sabemos que
e (cálculo direto de ), logo troca de sinal entre e . Assim existe um ponto crítico (mínimo local) em algum . - Estimativas anteriores de
e mostram que o mínimo local tem valor em torno de e ocorre perto de (aprox.). - Conclusão prática: há um mínimo local raso com aproximadamente coordenadas
.
Passo 10
Montando o esboço (como conectar os pontos — explicação prática passo a passo):
- Nas extremidades (grandes
) . Desenhe as duas pontas indo para cima. - À esquerda, para
negativo, a função é positiva (ex.: , ): aproxima-se do eixo mas sem cruzá-lo nessa região — marque alguns pontos positivos e conecte suavemente. - Ao chegar em
marque ; é um máximo local (curvatura para baixo ali). Faça a curva atingir esse pico. - Depois do máximo, a função desce e cruza o eixo
em (raiz simples). Marque . - Continuando para a direita, a função desce um pouco mais até um mínimo local raso perto de
com . - Em seguida a função sobe, cruza novamente o eixo em
(segunda raiz real) e explode para cima rapidamente (em já é grande e em enorme). - Conectar suavemente todos esses pontos respeitando que os extremos são suaves (não há multiplicidades pares aparentes nas raízes reais identificadas).
Dica prática: para um esboço feito à mão, os pontos que realmente orientam bem são:
,
,
(máx),
(raiz simples),
(mínimo local aprox.),
(segunda raiz aprox.),
,
. Marque esses pontos e ligue-os com uma curva suave.
Passo 11
Resumo pedagógico final — como você aplica isso numa prova:
- Sempre comece pelo grau e coeficiente líder para saber as “pontas” do gráfico.
- Procure raízes inteiras óbvias (
aqui foi exata). - Derivadas ajudam a achar extremos: calcule
, veja pontos críticos fáceis (aqui saiu imediatamente) e use para classificar. - Monte uma pequena tabela de valores em pontos estratégicos (inteiros e alguns pontos entre raízes) para saber sinais e localizar raízes por mudança de sinal.
- Use interpolação linear simples para estimar raízes entre dois pontos com sinais opostos.
- Ao esboçar, marque bem interceptos e extremos e conecte respeitando monotonia e concavidade.
Força aí — com essa tabela e esses pontos fica fácil fazer um esboço fiel em poucos minutos.
Resposta
Grau
, coeficiente líder
→
quando
.
Intercepto em :
.
Raízes reais encontradas: (exata, simples) e
(aprox.).
Ponto crítico em : máximo local em
(porque
e
).
Há um mínimo local raso entre e
, aproximadamente
.
Sinais/valores adicionais úteis para o esboço: ,
,
,
,
,
,
.
Intercepto em
Raízes reais encontradas:
Ponto crítico em
Há um mínimo local raso entre
Sinais/valores adicionais úteis para o esboço: